Loi de comportement hyperélastique, isotrope et incompressible
Modèles hyperélastiques pour le comportement mécanique des élastomères

Les élastomères, souvent appelés caoutchoucs dans le langage commun, sont largement utilisés dans l’industrie pour des applications anti-vibratoires, par exemple des supports moteur et d’échappement dans l’automobile, de collage souple dans les applications navales, ou encore pour les pneumatiques, l’étanchéité …. Ces applications tirent profit du comportement mécanique particulier de ces matériaux, caractérisé principalement par la capacité à supporter de très grandes déformations réversibles (plusieurs centaines de pour cent). Ainsi, la prédiction du comportement mécanique des élastomères dans les logiciels de calcul par éléments finis nécessite l’utilisation de modèles de comportement fortement non linéaires. Cette non-linéarité est le fruit à la fois des grandes déformations qui induisent de forts changements de géométrie et de la relation entre ces déformations et les contraintes.

La théorie de l’hyperélasticité est à la base de tous les modèles de comportement pour les élastomères. Celle-ci bénéficie d’un cadre théorique rigoureux et a fait l’objet d'un très grand nombre d'études depuis 1940. À partir de ce cadre mathématique, il est possible de définir de nombreux modèles prédisant la réponse élastique en grandes déformations des élastomères. Ces modèles s’avèrent efficaces et sont largement disponibles dans les logiciels de simulation. Toutefois, leur utilisation par les ingénieurs dans la phase de conception nécessite :

• la compréhension de leur formulation théorique ;

• le développement et/ou l’exploitation des essais expérimentaux associés ;

• la mise en œuvre de techniques d’identification des paramètres de ces modèles à partir des résultats d’essais ;

• la connaissances des méthodes numériques dédiées et des difficultés qu’elles induisent.

Le présent article aborde ces différents aspects. Dans le paragraphe 1, les élastomères sont brièvement présentés avec la complexité de leur comportement mécanique ; la courbe contrainte-déformation, que les modèles hyperélastiques s’attachent à reproduire, est définie. Les rappels nécessaires de mécanique des milieux continus en grandes transformations, notamment la définition des différents tenseurs des déformations et des contraintes, sont proposés dans le paragraphe 2. Le cadre théorique de l’hyperélasticité est établi dans le paragraphe 3 ; sa spécialisation au cas isotrope et incompressible permet de définir la forme générale de la loi de comportement adaptée à la réponse élastique des élastomères. Dans le paragraphe 4 sont introduits les modèles les plus classiques, mais aussi des modèles plus récents ayant démontré leur efficacité. Dans les deux derniers paragraphes est abordée l’utilisation des modèles par l’ingénieur : identification des paramètres matériels (§ 5) et aspects numériques (§ 6).

Le paragraphe 2 n’est pas nécessaire au lecteur possédant de bonnes bases en mécanique des milieux continus non linéaires.