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RÉSUMÉ
Les problèmes de trajectoires spatiales peuvent rarement se résoudre de manière analytique. L’hypothèse d’une Terre plate avec une gravité constante simplifie fortement les équations du mouvement et permet dans certains cas de trouver des solutions explicites. Ces solutions sont utiles pour donner des ordres de grandeur de performances en phase d’avant-projet ou pour initialiser une résolution numérique avec des modèles plus réalistes. Cet article expose la résolution de quatre problèmes classiques de trajectoires de lancement en Terre plate (tir balistique à accélération constante, injection en orbite à accélération constante, tir vertical à poussée variable, injection en orbite à poussée variable), puis une méthode de passage des solutions en Terre ronde.
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Space trajectory problems can seldom be solved analytically. Assuming a flat Earth with a constant gravity simplifies drastically the motion equations and allows in some cases to find explicit solutions. These solutions are useful either to estimate performances during preliminary studies or to provide an initial guess for a numerical solution with more complex models. This paper presents the solution of four classical launch trajectory problems (ballistic launch with constant acceleration, launch into orbit with constant acceleration, vertical launch with variable thrust, launch into orbit with variable thrust) and a procedure for transforming the solution into a round Earth model.
Auteur(s)
-
Max CERF : Ingénieur en analyse de mission - ArianeGroup, Les Mureaux, France
INTRODUCTION
Les problèmes de trajectoires spatiales peuvent rarement se résoudre de manière analytique. En faisant l’hypothèse d’une Terre plate avec une gravité constante, sans atmosphère ou avec un modèle d’atmosphère simplifié, on simplifie fortement les équations du mouvement, ce qui permet dans certains cas de trouver des solutions explicites. Ces solutions sont utiles pour donner rapidement des ordres de grandeur de performances en phase d’avant-projet ou pour initialiser une résolution numérique avec des modèles plus réalistes. Cet article expose la résolution de quatre problèmes classiques de trajectoires de lancement en Terre plate, puis une méthode pour passer à la solution en Terre ronde.
Le premier problème traite le tir balistique de portée maximale à accélération constante. La solution en Terre plate sans atmosphère montre que la direction de poussée optimale est constante. L’assiette de poussée s’obtient en résolvant une équation à une inconnue dépendant uniquement du niveau d’accélération.
Le deuxième problème traite l’injection en orbite à accélération constante. La solution en Terre plate sans atmosphère montre que la direction de poussée suit une loi tangente linéaire. Le problème se réduit à une équation à une inconnue, ce qui permet d’évaluer l’impulsion requise selon le niveau d’accélération et l’altitude visée.
Le troisième problème traite le tir vertical d’apogée maximal en supposant la poussée variable. Il s’agit du problème de Goddard dont la solution peut comporter un arc à poussée variable non maximale en présence de freinage aérodynamique. Cet arc singulier se détermine analytiquement en fonction de la trainée de la fusée.
Le quatrième problème traite l’injection en orbite en supposant la poussée variable. La solution optimale en Terre plate sans atmosphère consiste en un seul arc à poussée maximale. Le problème de contrôle optimal se réduit à un système à deux inconnues qui se résout aisément par une méthode de tir.
La dernière partie concerne le passage de Terre plate et gravité constante en Terre ronde et gravité variable. La transformation s’effectue par un changement de coordonnées et une méthode de continuation permettant d’introduire progressivement la courbure de la Terre et la gravité variable.
Les quatre problèmes traités sont indépendants. Cet article présente pour chacun la modélisation, la résolution analytique du problème de contrôle optimal et une application numérique illustrative.
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MOTS-CLÉS
KEYWORDS
spacecraft propulsion | orbit | gravity | optimal control
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Présentation
Annexe – étude de la solution de la forme Tmax − 0 − Tmax lorsque ph ≠ 0
En anglais
6. Conclusion
Cet article a présenté la résolution en Terre plate de quatre problèmes de trajectoires spatiales : le tir balistique à accélération constante, l’injection en orbite à accélération constante, le tir vertical à poussée variable, l’injection en orbite à poussée variable.
Ces problèmes ont été choisis pour leur intérêt académique, mais aussi pratique lors de phases d’avant-projet. Dans chaque cas, l’analyse du problème de contrôle optimal permet de se ramener à un système de dimension réduite (une ou deux inconnues) qui se résout facilement. Les solutions obtenues donnent un ordre de grandeur, que l’on doit ensuite affiner avec des méthodes de simulation plus complexes. Les résultats théoriques principaux issus de ces solutions en Terre plate sont résumés ci-dessous.
-
La portée maximale d’un missile en Terre plate est obtenue avec une direction de poussée constante.
-
La loi de poussée pour atteindre l’altitude maximale en tir vertical (problème de Goddard) peut présenter des arcs singuliers (poussée non maximale) en présence de freinage aérodynamique.
-
La loi de poussée optimale pour l’injection en orbite en Terre plate est un arc à poussée maximale suivi d’un arc balistique.
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BRYSON (A.E.), HO (Y.-C.) - Applied Optimal Control. - Hemisphere Publishing Corporation (1975).
-
(2) - CERF (M.), TRÉLAT (E.), HABERKORN (T.) - Continuation from a flat to a round Earth model in the coplanar orbit transfer problem. - Optimal Control Application and Methods, 36 pages, DOI : 10.1002/oca (2011).
-
(3) - GODDARD (R.H.) - A method for reaching extreme altitudes. - Smithsonian Int. Misc. Collections 71 (1919).
-
(4) - LAWDEN (D.F.) - Optimal Trajectories for Space Navigation. - Butterworths (1963).
-
(5) - TRÉLAT (E.) - Contrôle optimal – Théorie et applications. - Vuibert (2005).
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