L'article aborde la question des tests statistiques appliqués aux variables aléatoires provenant de mesures ou de simulations. Nous considérons tout d'abord le calcul des valeurs moyennes et des écarts types de ces variables caractérisées par des estimations et marges d'incertitudes. L'article se tourne ensuite vers la pratique des tests usuels du c2 et Kolmogorov Smirnov, en s'intéressant à leur formulation théorique agrémentée de plusieurs exemples. Pour conclure, la simulation de processus aléatoires est présentée par l'artifice des tirages de Monte Carlo.
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Bernard DEMOULIN
: Professeur émérite - Université Lille 1, Groupe TELICE de l’IEMN, UMR CNRS 8520
INTRODUCTION
L’analyse statistique est aujourd’hui utilisée dans des domaines scientifiques aussi variés que les mathématiques appliquées, la physique, la chimie, l’économie et bien d’autres. L’article initie le lecteur aux tests statistiques adaptés à des variables aléatoires établies suivant les lois de probabilités les plus familières. Il est bien évident que le sujet pourra être avantageusement approfondi par la consultation des articles [AF 168] et [AF 170] des Techniques de l’Ingénieur ou de la littérature spécialisée dont on trouvera certains ouvrages signalés en fin de texte [Doc. R 221].
L’exposé est présentement structuré en trois paragraphes abordant trois familles de problèmes successivement consacrés aux estimations de moyennes, aux tests statistiques proprement dits, puis à la simulation d’expériences où interviennent des variables aléatoires artificielles.
Le premier paragraphe s’efforce de mettre en relief l’impact de l’incertitude rencontrée lors du calcul de la valeur moyenne ou de la variance de N variables. Nous verrons sur la base de démonstrations agrémentées d’exemples que l’incertitude peut être estimée moyennant l’usage de la loi des grands nombres coordonnée par l’inégalité de Bienaymé Tchebetchev. On observera également la tendance naturelle des estimateurs à évoluer vers la loi de probabilité normale.
Le second paragraphe oriente l’exposé sur la confrontation de populations de variables aléatoires à des lois de probabilité connues. Le problème consiste à rechercher des critères permettant de mesurer l’écart situé entre un histogramme des densités, ou répartitions, de probabilités avec une loi théorique extraite du catalogue. Les critères en questions seront établis sur le calcul de jauges statistiques dont la transformation permettra de décider du rejet ou de l’acceptation de la loi de probabilité candidate. Cette partie importante sera illustrée par la mise en place du test statistique du χ2 et du test de Kolmogorov Smirnov. Dans le déroulement du second paragraphe seront également évoquées les variables aléatoires exprimées par des nombres complexes. Sous l’hypothèse que la composante réelle et la composante imaginaire de ces variables évoluent suivant la loi de probabilité normale, il sera montré qu’elles peuvent générer les lois de probabilités exponentielles, de Rayleigh ou de Weibull.
Le troisième paragraphe aborde la simulation de systèmes physiques par la génération de variables aléatoires produites par tirages de Monte Carlo. À ce moment, on procédera à un bref examen des méthodes de congruence arithmétique entrant dans l’architecture d’algorithmes générateur de suites numériques aléatoires. L’analyse se poursuivra par l’élaboration d’exemples reproduisant des calculs numériques d’intégrales, des simulations de variables aléatoires déversées suivant les lois de probabilités exponentielles et de Poisson et pour conclure, la simulation de signaux générés par des phénomènes balistiques aléatoires. La pratique des tirages de Monte Carlo pourra être avantageusement complétée par la consultation de l’article [AF 600] entièrement dédié au sujet. D’autre part, le présent article constitue la continuité naturelle des articles [R 210V2] et [R 220] respectivement consacrés aux processus aléatoires et aux fonctions aléatoires, leur consultation préalable est évidemment recommandée.
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La simulation théorique de processus aléatoires signifie que l’on procède à des expériences numériques faisant usage de variables aléatoires artificielles. Le but d’une simulation n’est donc pas de reproduire en rigoureuse conformité le comportement d’un système physique, mais d’en restituer une réponse au sens statistique. Dans cette préoccupation, les tirages de Monte Carlo vont générer les variables aléatoires artificielles et consécutivement les moyens dont dispose l’expérimentateur pour simuler la réponse statistique du système.
3.1 Usage des tirages de Monte Carlo pour le calcul d’intégrales
Les méthodes de Monte Carlo, présentement appelées « tirages », trouvent leur étymologie dans les jeux de hasard incarnés par le casino de Monte Carlo. Ces méthodes de calcul statistique empruntées aux tirages aléatoires de nombres n’ont toutefois été appliquées qu’à partir de 1945 dans les travaux conjoints du mathématicien américain d’origine polonaise S. Ulam et l’ingénieur d’origine hellénique N. Micropolis, l’application concernait la prédiction des interactions neutroniques.
Le calcul d’intégrales, la simulation de trajectoires de particules, la distribution d’amplitude d’ondes évoluant dans des milieux de propagation aléatoires constituent également des applications privilégiées de ces méthodes.
Bien que le sujet soit largement développé dans l’article [AF 600], on se limitera dans ce court préambule à l’examen de l’intégration d’une fonction réelle g (x) de la variable réelle x.
Intégration numérique classique
Le calcul de l’intégrale I d’une fonction réelle g (x) de la variable réelle x contenue dans l’intervalle, [ab], s’exprime sous la notation conventionnelle :
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(1) -
BASS (J.) -
Éléments de calcul des probabilités
-
. Éditions, Masson (1967).
(2) -
PAPOULIS (A.) -
Probability, random variables and stochastic process.
-
Publisher, McGraw-Hill, New York (1991).
(3) -
BRUHAT (G.) -
Cours de physique générale, Thermodynamique.
-
Sixième édition revue et augmentée par Alfred Kastler, Éditions Masson (1968).
(4) -
HILL (D.A.) -
Plane wave integral representation of fields in reverberation chambers.
-
IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 40 n° 3, pp. 209-217 (August 1998).
(5) -
OULD BACHIR (T.) -
Génération de nombres pseudo-aléatoires suivant une distribution non uniforme par circuits intégrés programmable
-
. Mémoire de fin d’études, École polytechnique de Montréal, Canada. Document disponible sur Internet (Août 2008).
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