Graphes de liens. Thermodynamique
Utilisation des graphes de liens en électronique de puissance

Les graphes de liens ont été introduits en 1961 dans le cadre d’analyses de systèmes mécaniques.

L’outil « bond graph » (parfois appelé « graphe à liens » ou « graphe de liaisons »), imaginé par Henry Paynter du MIT Boston, formalisé par D. Kamopp et R. Rosenberg, puis J. Thoma, se situe comme intermédiaire entre le système physique et les modèles mathématiques qui lui sont associés (matrice de transfert dans le cas linéaire, équation d’état linéaire ou non linéaire, systèmes d’équations différentielles d’ordre deux). Il est entré en Europe à la fin des années mil neuf cent soixante-dix, par les Pays-Bas (université de Twente). Il est enseigné de façon régulière et organisée à l’École centrale de Lille, à l’Université de Lyon-I, à l’INSA de Lyon et de Toulouse, à l’ESE de Rennes, à l’Université de Mulhouse... De nombreuses entreprises, dont celles liées à l’automobile, ont adopté le formalisme des graphes de liens pour leur modélisation.

La motivation à cette époque était double : développer un outil graphique pour l’analyse cohérente des systèmes physiques multidomaines, accessible et commun à des spécialistes d’horizons différents.

Les modèles obtenus sont toujours de bons modèles de connaissance, car le principe même de leur construction en fait des « boîtes grises » par opposition aux modèles « boîtes noires » obtenus par identification : la structure du modèle est toujours connue même si les paramètres sont parfois à déterminer expérimentalement. Il faut cependant préciser que cet outil suppose les phénomènes physiques, localisés dans le système. La modélisation des systèmes à constantes réparties ne sera pas évoquée ici.

Nous verrons une procédure systématique pour écrire le jeu d’équations (différentielles) correspondant au modèle du système physique.

Quel apport pour l’ingénieur en génie électrique ?

Le graphe de liens est un langage de représentation dont le but est de guider l’ingénieur dans l’analyse de son système et sa modélisation. L’ingénieur pourra alors écrire un jeu d’équations qu’il traduira dans un simulateur. Le graphe de liens permet à l’ingénieur de connaître la qualité de l’analyse qu’il mène, ainsi que la pertinence du modèle auquel il aboutit. Le graphe de liens vient en amont de l’utilisation de simulateurs, quels qu’ils soient. L’effort que l’ingénieur va consentir avant la phase de simulation se traduira par une meilleure efficacité (moins de variables par exemple) et une plus grande pertinence des résultats de simulation (assurance d’un système déterministe par exemple).

Il existe des simulateurs de graphes de liens (20-SIM, CAMPG, PACTE), mais ils sont peu répandus. Plus souvent des ingénieurs utilisent les graphes de liens pour analyser et modéliser un système. Puis ils utilisent un simulateur généraliste (MATLAB, SIMPLORER, MathCAD...) dans lequel les équations différentielles du systèmes sont traduites.

Le lecteur notera d’ores et déjà que le langage VHDL-AMS constitue un langage pratique pour traduire les conclusions d’un graphe de liens, comme il est rappelé plus bas.

L’application des graphes de liens à l’électronique de puissance date du début des années mil neuf cent quatre-vingt-dix. Les graphes de liens constituent un cadre mathématique vivant, et des recherches se poursuivent pour compléter la méthodologie existante ou explorer l’intérêt de nouvelles applications. Si aucun champ de la physique (ni du vivant ni d’ailleurs) n’est ignoré, la communauté des utilisateurs des graphes de liens, reste petite. Mais la liste des industries ayant adopté le formalisme est croissante, ainsi que celle des écoles qui l’enseignent.

Un article des Techniques de l’Ingénieur [S 7 222] développe le sujet mais avec l’objectif de l’analyse des propriétés structurelles d’un système physique en vue de l’élaboration de sa commande. Le document s’appuie sur l’exemple de la boîte de vitesse automatique et en défendant l’analyse énergétique du système et, à ce niveau, un convertisseur de puissance apparaît comme un « gain » au sens de l’automatique. Pour autant, l’intérêt des graphes de liens pour l’électronique de puissance est très large, et le présent document a plusieurs ambitions dans le cadre de l’analyse, de la modélisation et de la simulation des systèmes de l’électronique de puissance :

• introduire rapidement les symboles des graphes de liens pour permettre leur lecture par les béotiens ;

• introduire l’analyse de causalité d’un graphe de liens, reflétant la notion physique de causalité : « d’une cause déterminée que l’on suppose donnée suit nécessairement un effet, et au contraire si nulle cause déterminée n’est donnée, il est impossible qu’un effet suive » (Axiome III, Éthique, Spinoza, 1675) ;

• discuter l’intérêt de l’analyse de causalité vis-à-vis de la mise en équation d’un modèle. En particulier, nous souhaitons faire comprendre au lecteur que cette étape, peu habituelle pour l’ingénieur, est un gage d’efficacité pour la simulation qui va suivre. La méthode nodale, commune aux simulateurs de circuits, sera prise comme référence ;

• montrer l’intérêt des graphes de liens dans la démarche de construction d’un modèle du système physique, indépendamment du simulateur choisi pour résoudre le jeu d’équations mathématiques ;

• aborder la construction systématique des modèles moyens de convertisseurs statiques continu/continu ;

• corriger quelques idées fausses et autres pratiques malsaines dans les simulations électrothermiques.

L’idée est toujours d’aborder l’exposé avec le support d’une application à un problème pratique.