Bibliographie & annexes
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Auteur(s)
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Jacques-Hervé SAÏAC : Ingénieur de l’École Centrale de Paris - Docteur et titulaire d’une habilitation à diriger des recherches de l’Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris VI) - Maître de Conférences au Conservatoire national des arts et métiers (CNAM)
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les méthodes numériques utiles à l’ingénieur sont nombreuses. Cependant, les algorithmes de base sont déjà exposés dans le traité Sciences fondamentales. Nous avons donc choisi de présenter ici les méthodes de discrétisation des équations de la physique en nous concentrant sur le modèle de la conduction.
Les mathématiques utilisent couramment les notions d’infini et de continu. La solution exacte d’un problème d’équations différentielles ou aux dérivées partielles est une fonction continue. Les ordinateurs ne connaissent que le fini et le discret. Les solutions approchées seront calculées en définitive comme des collections de valeurs discrètes sous la forme de composantes d’un vecteur solution d’un problème matriciel.
En vue du passage d’un problème exact (continu) au problème approché ( discret), on dispose de plusieurs techniques concurrentes : les différences finies, les éléments finis et les volumes finis. Chacune de ces trois méthodes correspond à une formulation différente des équations de la physique :
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équilibre des forces en chaque point pour les différences finies ;
-
minimisation de l’énergie ou principe des travaux virtuels pour les éléments finis ;
-
loi de conservation et calcul des flux pour la méthode des volumes finis.
le lecteur pourra se reporter aux articles :
[A 1 220] Méthodes numériques de base.
[A 1 207] Modèles et modélisation en électrotechnique
et également aux articles [A 550] Approximation des équations aux dérivées partielles . Méthodes aux différences finies et [A 656] Méthode des éléments finis.
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Problèmes en dimension deux et trois
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1. Principes généraux des méthodes numériques
1.1 Généralités
Examinons rapidement les avantages et les inconvénients de chacune de ces trois méthodes mentionnées dans l’Introduction.
HAUT DE PAGE
La méthode des différences finies consiste à remplacer les dérivées apparaissant dans le problème continu par des différences divisées ou combinaisons de valeurs ponctuelles de la fonction en un nombre fini de points discrets ou nœuds du maillage.
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Avantages :
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grande simplicité d’écriture ;
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faible coût de calcul.
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Inconvénients :
-
limitation de la géométrie des domaines de calculs ;
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difficultés de prise en compte des conditions aux limites ;
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en général, absence de résultats de majoration d’erreurs.
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La méthode des éléments finis consiste à approcher, dans un sous-espace de dimension finie, un problème écrit sous forme variationnelle (comme minimisation de l’énergie, en général) dans un espace de dimension infinie. La solution approchée est, dans ce cas, une fonction déterminée par un nombre fini de paramètres comme, par exemple, ses valeurs en certains points (les nœuds du maillage).
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Avantages :
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traitement possible de géométries complexes ;
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détermination plus naturelle des conditions aux limites ;
-
possibilité de démonstrations mathématiques de convergence et de majoration d’erreurs.
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Inconvénients :
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complexité de mise en œuvre ;
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coût en temps de calcul et en mémoire.
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Principes généraux des méthodes numériques
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - HIRSCH (C.) - Numerical Computation of Internal and External Flows. - Wiley 1976.
-
(2) - CHAVENT (G.) - Approximation des équations aux dérivées partielles. Méthodes aux différences finies. - Traité Sciences fondamentales A 550, 1993.
-
(3) - GEORGE (P.-L.), BOROUCHAKI (H.) - Triangulation de Delaunay et maillage. - Hermès, 1998.
-
(4) - JOLY (P.) - Mise en œuvre de la méthode des éléments finis. - Ellipses, 1990.
-
(5) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Masson 94.
-
(6) - BATOZ (J.-L.), DHATT (G.) - Modélisation des structures par éléments finis. - Hermès 1992.
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