Bibliographie & annexes
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Auteur(s)
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Jacques-Hervé SAÏAC : Ingénieur de l’École Centrale de Paris - Docteur et titulaire d’une habilitation à diriger des recherches de l’Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris VI) - Maître de Conférences au Conservatoire national des arts et métiers (CNAM)
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Les méthodes numériques utiles à l’ingénieur sont nombreuses. Cependant, les algorithmes de base sont déjà exposés dans le traité Sciences fondamentales. Nous avons donc choisi de présenter ici les méthodes de discrétisation des équations de la physique en nous concentrant sur le modèle de la conduction.
Les mathématiques utilisent couramment les notions d’infini et de continu. La solution exacte d’un problème d’équations différentielles ou aux dérivées partielles est une fonction continue. Les ordinateurs ne connaissent que le fini et le discret. Les solutions approchées seront calculées en définitive comme des collections de valeurs discrètes sous la forme de composantes d’un vecteur solution d’un problème matriciel.
En vue du passage d’un problème exact (continu) au problème approché ( discret), on dispose de plusieurs techniques concurrentes : les différences finies, les éléments finis et les volumes finis. Chacune de ces trois méthodes correspond à une formulation différente des équations de la physique :
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équilibre des forces en chaque point pour les différences finies ;
-
minimisation de l’énergie ou principe des travaux virtuels pour les éléments finis ;
-
loi de conservation et calcul des flux pour la méthode des volumes finis.
le lecteur pourra se reporter aux articles :
[A 1 220] Méthodes numériques de base.
[A 1 207] Modèles et modélisation en électrotechnique
et également aux articles [A 550] Approximation des équations aux dérivées partielles . Méthodes aux différences finies et [A 656] Méthode des éléments finis.
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Principes généraux des méthodes numériques
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3. Méthodes de résolution des systèmes linéaires
3.1 Méthodes directes
Les méthodes directes de résolution des systèmes linéaires sont des méthodes dans lesquelles la solution est obtenue de façon exacte en un nombre fini d’opérations. De façon exacte s’entend, sur un ordinateur, aux erreurs « d’arrondis machine » près.
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Le prototype de méthode directe est la méthode du pivot de Gauss. Cette méthode permet de ramener la résolution d’un système général à la résolution d’un système triangulaire supérieur, résolution qui se fait explicitement par un processus de remontée. On commence par calculer la dernière composante du vecteur inconnu en utilisant la dernière équation et on remonte équation par équation en déterminant les composantes correspondantes. La rencontre de pivot nul peut nécessiter la permutation de lignes du système. Cependant, pour certaines classes de matrices, en particulier les matrices symétriques définies positives, on est assuré de pouvoir triangulariser le système par Gauss sans permutation. La méthode du pivot équivaut alors à une factorisation de type
A = LUde la matrice A. L est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et U une matrice triangulaire supérieure.
On peut utiliser la symétrie de A pour obtenir une factorisation de type
avec D diagonale.
-
Dans le cas d’une matrice A symétrique définie positive, la méthode de Choleski conduit à une factorisation :
A = LLT
On trouve la matrice L, qui cette fois n’est plus à diagonale unité, par un algorithme d’identification de coefficients.
De
on déduit pour tout i :
...
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Méthodes de résolution des systèmes linéaires
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - HIRSCH (C.) - Numerical Computation of Internal and External Flows. - Wiley 1976.
-
(2) - CHAVENT (G.) - Approximation des équations aux dérivées partielles. Méthodes aux différences finies. - Traité Sciences fondamentales A 550, 1993.
-
(3) - GEORGE (P.-L.), BOROUCHAKI (H.) - Triangulation de Delaunay et maillage. - Hermès, 1998.
-
(4) - JOLY (P.) - Mise en œuvre de la méthode des éléments finis. - Ellipses, 1990.
-
(5) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Masson 94.
-
(6) - BATOZ (J.-L.), DHATT (G.) - Modélisation des structures par éléments finis. - Hermès 1992.
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