Supplément mathématique
Ondes radioélectriques dans les milieux absorbants - Effets induits dans un corps cylindrique

Les industries électriques et électroniques sont fréquemment confrontées aux questions de la propagation des ondes radioélectriques dans les conducteurs de section cylindrique. L’article s’articule autour de deux problèmes. L’un consiste à déterminer l’impédance d’un cylindre de longueur infinie évaluée par le rapport du champ électrique de surface sur le courant traversant ce conducteur filiforme. Le second s’adresse au calcul analytique des densités de courant induites dans un cylindre de dimension finie soumis à une onde radioélectrique sinusoïdale. Dans l’un et l’autre cas, les fréquences considérées se situent dans une vaste gamme allant de 50 Hz à quelques GHz.

Sur le plan des applications pratiques pressenties, nous verrons que l’impédance de surface contribue au calcul de l’atténuation et de la distorsion de signaux transportés sur une ligne de transmission comprenant, selon le cas, un ou deux conducteurs cylindriques de conductivité électrique très élevée. Les calculs reportés dans l’article concernent aussi des cylindres de conductivité électrique modérée immergés dans un champ électromagnétique formé d’ondes entretenues sous les fréquences considérées plus haut. Sous ces nouvelles hypothèses, le cylindre constitue un modèle approximatif dédié à la prédiction des courants induits dans un corps humain exposé aux effets thermiques des ondes radioélectriques.

L’article comporte deux parties principales où sont détaillés les mécanismes d’induction d’une onde plane procurant suivant la polarisation choisie, priorité au champ électrique orienté parallèlement au cylindre ou la polarisation duale déterminée par un champ magnétique parallèle au cylindre.

La première conduit au calcul de l’impédance de surface illustrée de quelques exemples, ainsi qu’à la détermination des densités de courant et de puissance dissipée dans un cylindre de conductivité proche des valeurs rencontrées dans les milieux biologiques. Nous verrons à cette occasion que le cylindre disposé normalement à la surface du sol s’apparente à une antenne réceptrice similaire à un observateur plongé dans un champ électromagnétique hautes fréquences.

La seconde insiste plus particulièrement sur l’induction de courants de Foucault engendrés au voisinage de la fréquence industrielle de 50 Hz. Nous verrons que les calculs entrepris dans l’article intéressent aussi bien les phénomènes induits dans les lignes de puissance des gros équipements électriques, que les courants de faible amplitude rencontrés dans le corps humain immergé dans un champ magnétique à variations sinusoïdales.

Une troisième partie disjointe des précédentes compose un supplément mathématique dédié à la mise en place et la résolution de l’équation des ondes cylindriques. Bien que ce problème soit aujourd’hui traité par des outils logiciels spécifiques, l’approche analytique défendue dans l’article offre une voie alternative à la rigueur du tout numérique. Certes, l’usage des formules analytiques est subordonné au respect de quelques simplifications touchant les rapports dimensionnels du cylindre et leurs liens avec la longueur d’onde. En contre partie, l’entrée des fonctions de Bessel présentées sous la forme de développements limités ou asymptotiques apporte au regard des simulations numériques une souplesse bien appréciée lors de l’interprétation phénoménologique. Il est également bon de rappeler que le modèle cylindrique peut constituer un outil de référence efficace dans la phase d’apprentissage des logiciels de simulation numérique.

Nous devons aussi ajouter que la première partie de l’article complète la théorie des lignes de transmission exposée dans l’article [D 1 322] et plus particulièrement le calcul des dissipations d’énergie abordé au paragraphe 4.1.

Le lecteur trouvera en fin d'article un glossaire des termes employés.