Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
En traitement numérique du signal, les signaux aléatoires constituent un modèle de base des signaux dans un grand nombre de problèmes rencontrés en pratique. Les signaux stationnaires au sens large sont d'abord présentés ainsi que les chaînes de Markov. Cette présentation est complétée par quelques problèmes pratiques de traitement : estimation spectrale, traitement d'antenne et éléments de filtrage adaptatif. Puis quelques principes généraux d'estimation statistique sont donnés.
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In digital signal processing, random signals constitute a basic model of signals in a wide number of problems encountered in practice. Stationary signals in the broad sense as well as the Markov chains. This presentation is completed by several practical processing issues: spectral estimation, antenna processing and elements of adaptive filtering. Several general statistical estimation principles are finally provided.
Auteur(s)
-
Gérard BLANCHET : Directeur d'études à Telecom-Paristech
-
Maurice CHARBIT : Professeur à Telecom-Paristech
INTRODUCTION
Cet article est consacré aux signaux aléatoires. Il fait suite et fait souvent référence à l'article consacré aux signaux déterministes [E3087]. En première partie nous présentons les signaux stationnaires au sens large et leur filtrage, ainsi que les chaînes de Markov. La seconde partie est une introduction à l'estimation statistique. La dernière partie présente, pour illustrer ce qui précède, quelques problèmes pratiques de traitement : estimation spectrale, traitement d'antenne et éléments de filtrage adaptatif.
Dans ce qui suit de nombreuses propriétés sont énoncées sans donner toujours les hypothèses de leur validité. Indiquons toutefois que, dans la majorité des cas rencontrés en pratique, ces hypothèses sont satisfaites. Les plus curieux pourront se documenter en consultant l'abondante littérature existant dans le domaine.
Le lecteur se reportera à l'article [E3087] Traitement numérique du signal. Signaux déterministe, où il trouvera un tableau des abréviations et notations mathématiques, ainsi qu'un glossaire français-anglais en fin d'article.
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MOTS-CLÉS
signaux aléatoires processus SSL filtrage estimation spectrale processus ARMA processus de Markov traitement adaptatif
KEYWORDS
random signals | WSS process | filtering | spectra estimation | ARMA process | Markov process | adaptive processing
DOI (Digital Object Identifier)
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Présentation
Conclusion
En anglais
2. Traitements de signaux
Ce paragraphe ne prétend nullement donner une vue exhaustive des problèmes de TNS. Il présente trois exemples dans le but d'illustrer les notions présentées précédemment et, pourquoi pas, de susciter l'envie pour certains de se plonger dans l'immense littérature consacrée à ces sujets.
2.1 Estimation de spectre
2.1.1 À partir du périodogramme
Soit Xn un processus aléatoire réel, SSL, centré. On note
sa fonction d'autocovariance et S(f) sa dsp. On se propose d'évaluer S(f) à partir d'une suite de N valeurs du processus. Dans la suite nous notons cette séquence
.
On appelle périodogramme la fonction aléatoire de
définie par :
( 98 )
Le périodogramme est un estimateur asymptotiquement sans biais de la dsp. Cela signifie que, quand N tend vers l'infini, E(IN(f)) tend vers S(f). Dit de manière moins mathématique : pour N suffisamment grand, IN(f) fluctue autour de la vraie valeur. On pourrait alors penser que IN(f) est un « bon » estimateur de S(f). En fait il n'en est rien. En effet, l'amplitude des fluctuations, qui est directement liée à la variance de IN (f), ne tend pas vers 0 quand N tend vers l'infini. Plus précisément on montre que cette variance est de l'ordre de grandeur de la valeur à estimer.
En conclusion, si on calcule, sur un intervalle de temps assez long, plusieurs périodogrammes...
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Traitements de signaux
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BLANCHET (G.), CHARBIT (M.) - Digital Signal and Image Processing using Matlab. - ISTE (2006).
-
(2) - BELLANGER (M.) - Analyse des Signaux et Filtrage Numérique Adaptatif - . Masson, Collection CNET-ENST (1989).
-
(3) - RÉMAUD (P.) - Introduction aux Probabilités et aux Chaînes de Markov - . Springer-Verlag (2009).
-
(4) - BOITE (R.), LEICH (H.) - les Filtres Numériques - . Masson, Collection CNET-ENST (1980).
-
(5) - BROCKWELL (P.J.), DAVIS (R.A.) - Time series : Theory and Methods - Springer-Verlag (1991).
-
(6) - CHARBIT (M.) - Éléments de Théorie du Signal : Signaux Aléatoires - . Ellipses, Collection Pédagogique de Télécommunication (1996).
-
...
ANNEXES
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