Résolution d'un problème dynamique linéaire
Amplification dynamique dans le calcul des structures

L'amplification dynamique est un phénomène à la fois physiquement intuitif et mathématiquement mal compris. Par exemple, les effets du séisme, en termes d'amplification dynamique, peuvent ainsi facilement se comprendre en raisonnant sur un simple ressort. Quiconque secoue un ressort souple sur lequel est fixée une masse comprend de suite que celle-ci peut se balancer d'autant plus fortement que la secousse sera violente. À l'inverse, si le ressort est remplacé par un tube rigide, la masse ne se balancera plus et suivra la secousse imposée, aussi explosive soit-elle.

Il s'agit là d'une illustration triviale de l'amplification dynamique : le premier cas de figure correspond à un oscillateur souple, et le second à un oscillateur rigide sans amplification dynamique (la masse tend à suivre intégralement le mouvement imposé de la base). Nous verrons en particulier que cette caractéristique des oscillateurs rigides se traduit par un comportement asymptotique des spectres sismiques, ces derniers étant une représentation graphique de l'amplification dynamique. Cette asymptote coïncide avec l'accélération maximale du mouvement imposé.

Cet exemple simple est la clé de compréhension des calculs dynamiques linéaires. En effet, toute structure peut s'interpréter comme la superposition d'une infinité d'oscillateurs, parmi lesquels seuls quelques-uns jouent un rôle majeur dans le comportement global. Ces oscillateurs correspondent en fait aux modes propres, états de vibration naturelle de la structure, et la littérature parle ainsi d'oscillateurs modaux.

Après une première partie décrivant les objectifs généraux du document, et les notations associées, nous présenterons dans la deuxième partie les rappels théoriques relatifs à la résolution classique d'un problème dynamique linéaire, à travers l'écriture de la solution sur la base orthogonale des modes propres.

Ces bases théoriques permettront de quantifier l'amplification dynamique (que ce soit pour une force fonction du temps ou une accélération fonction du temps), et donc de définir un critère numérique différenciant modes souples et modes rigides. Ce critère sera par la suite utilisé dans la phase d'extraction modale, car seuls les modes souples sont recherchés. En effet, la plupart des logiciels de calculs intègrent une fonctionnalité de correction statique garantissant la prise en compte des modes rigides dans la détermination de la solution.

La résolution temporelle est la seule technique de calcul fournissant la réponse théorique exacte du système analysé. Néanmoins, ce type d'analyse implique le calcul d'une solution complète pour chaque pas de temps (il peut y en avoir plusieurs dizaines de milliers) et la connaissance de données de chargements précises. Pour cette raison, de nombreux ingénieurs préfèrent déployer des techniques moins « coûteuses » comme l'analyse spectrale (monospectrale ou multispectrale), ou pseudo-statique, respectivement objets de la troisième et quatrième partie du document.

L'analyse spectrale, offrant un bon compromis entre coût calculs et précision des résultats, est probablement la technique de calculs la plus répandue, notamment pour les calculs sismiques. Il s'agit là d'une approche statistique consistant à combiner de façon plus ou moins conservative des réponses modales maximales a priori non simultanées. Nous analyserons dans ce document la méthodologie de création des spectres à partir des charges temporelles, donnant ainsi un sens aux opérations mathématiques pratiquées dans l'analyse spectrale (sommes quadratiques améliorées).

L'analyse pseudo-statique consiste quant à elle à convertir le problème dynamique en problème statique. Ce type d'approche présente l'avantage de la simplicité et de la rapidité de calculs, mais l'évaluation des efforts statiques équivalents doit se faire avec précaution. Une attention particulière doit être portée quand cette conversion se fait à partir de charges temporelles, sous peine de sous-estimer l'amplification dynamique. L'application éventuelle de coefficients de sécurité réglementaires ne garantit pas l'aspect conservatif des calculs, ces coefficients étant avant tout d'ordre statistique dans l'objectif de produire des calculs industriellement exploitables. À l'inverse, une conversion basée sur des spectres garantit la maîtrise de l'amplification dynamique, compte tenu de leur méthode d'élaboration.

Enfin, dans la dernière partie, nous résoudrons analytiquement plusieurs problèmes dynamiques. Il s'agira d'appliquer une variété représentative de chargements (analyse multispectrale, charge temporelle rapide, charge temporelle lente, accélérogrammes, souffle d'une explosion) sur des structures simples, et, en particulier, de mettre en évidence l'importance de l'amplification dynamique. Cette amplification peut atteindre des valeurs très importantes, nettement plus élevées que les coefficients de sécurité usuels.