Présentation
En anglaisRÉSUMÉ
L’identification d’un procédé consiste en l’estimation d’un modèle mathématique permettant, notamment, la synthèse d’une loi de commande ou encore d’anticiper son comportement futur. Cette identification suppose la connaissance de signaux d’entrée-sortie du procédé et nécessite le choix de la structure du modèle. La représentation d’état est une de ces structures possibles.
Cet article présente la méthodologie pour l’estimation d’un modèle dans l’espace d’état: la structure du modèle,les algorithmes classiques pour l’estimation de modèles à temps discret, les variantes telles que celles pour l’estimation d’un modèle en temps réel, l’estimation de modèles à temps continu ou l’identification en boucle fermée.
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The identification of a dynamical process consists in the estimation of a mathematical model allowing the synthesis of a control law or the prediction of the future behavior of the system. This identification is based on the knowledge of experimental data and the choice of a structure for the model. A possible structure is the state space representation.
This article presents solutions for the estimation of a state space model : classical algo- rithms in the discrete-time domain and also solutions for real-time identification, solutions for continuous-time domain model identification and solutions for closed loop identification.
Auteur(s)
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Mathieu POULIQUEN : Maître de Conférences - Université de Caen Normandie (France)
-
Eric PIGEON : Maître de Conférences - Université de Caen Normandie (France)
INTRODUCTION
La détermination du modèle d’un procédé dynamique est un problème essentiel dans de nombreuses disciplines scientifiques telles que l’automatique, l’économie, la médecine, etc.
La disposition d’un tel modèle permet, entre autres choses, une meilleure compréhension du procédé étudié, une analyse des interactions et relations de causalité entre différentes variables et grandeurs relatives au procédé, l’observation et la prédiction de certaines de ces variables.
Génériquement, deux procédures se distinguent pour l’élaboration d’un modèle. La première procédure consiste à décomposer le procédé en sous-systèmes élémentaires puis, via l’adjonction de lois élémentaires de la physique, de la finance, du vivant, etc., à établir un modèle dynamique de l’ensemble du procédé. Ce type de modélisation est appelé « modélisation boîte blanche ». Elle a deux inconvénients majeurs. Tout d’abord, elle requiert une connaissance approfondie de ces lois élémentaires et du comportement interne du système. Ensuite, elle induit souvent la détermination d’un modèle complexe, à base de dérivées partielles ou de paramètres inconnus par exemple, difficile à exploiter.
La seconde procédure pour l’élaboration d’un modèle consiste à réaliser une ou plusieurs expériences sur le procédé et en extraire un modèle dynamique cohérent. Cette seconde procédure nécessite d’agir spécifiquement sur le procédé (les variables par l’intermédiaire desquelles il est possible d’agir sur le procédé sont appelées les « entrées ») et de réaliser des mesures descriptives du comportement du procédé (les variables par l’intermédiaire desquelles il est possible d’observer le comportement du procédé sont appelées les sorties). Ce type de modélisation est appelé modélisation boîte noire ou identification. C’est ce type de modélisation qui nous intéresse ici.
La littérature fait état de nombreuses techniques pour la mise en oeuvre d’une telle procédure. L’essor majeur de ces techniques se situe dans les années 1960 au cours desquelles deux voies ont connu des développements importants. La première voie correspond aux méthodes d’identification de modèle sous forme de fonction de transfert (équations différentielles pour le modèle à temps continu ou équations aux différences pour les modèles à temps discret). Ces méthodes permettent uniquement la représentation du comportement externe du procédé, c’est à dire uniquement une description du comportement entrée-sortie. Elles ont été très largement étudiées et la littérature fait état de quelques ouvrages de référence en la matière.
Dans cet article, nous nous intéressons à la seconde voie. Elle correspond aux méthodes permettant l’estimation d’un modèle sous forme de représentation d’état, structure de modèle caractérisant le fonctionnement interne du procédé. Ces méthodes ont été en retrait dans les années 1970 et 1980 pour ensuite connaître un regain d’intérêt à partir des années 1990 sous l’appellation de « méthodes des sous-espaces ». Cette appellation vient du fait que ces méthodes sont basées sur une reconstruction du sous-espace vectoriel caractérisant le fonctionnement interne du procédé. Ces méthodes ont depuis atteint un certain degré de maturité, cette maturité se traduit par de nombreuses applications probantes en milieu industriel et académique ainsi que par une intégration de ces méthodes au sein de différents outils de calcul numérique pour l’ingénieur.
L’objectif de cet article est de présenter le principe fondateur de ces méthodes des sous-espaces pour les modèles à temps discret ainsi que de présenter quelques variantes, notamment pour les modèles à temps continu et les modèles variant dans le temps.
KEYWORDS
identification | Algorithms | mathematical model | State-space representation | subspace
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4. Application : Identification d’une tour de fibrage
4.1 Description du procédé
La tour de fibrage est le procédé industriel permettant la fabrication de la fibre optique. Un schéma de principe d’une tour de fibrage est présenté sur la figure 4. La tour se compose d’un four à induction dont la température est de l’ordre de 2 000 oC dans lequel une préforme, un cylindre en silice de plusieurs dizaines de centimètres de long, descend lentement. Cette préforme est suspendue à plusieurs mètres de haut par une de ses extrémités. L’extrémité de la préforme se trouvant dans la zone chaude du four, se ramollit et il se forme alors une goutte. Cette goutte s’étire sous l’effet de la pesanteur, le fil de silice en résultant est ensuite entraîné par un cabestan situé en bas de la tour. Ce fil de silice ainsi étiré est soumis à différents traitements chimique, le produit en résultant constitue la fibre optique.
Plusieurs grandeurs ont un impact significatif sur les conditions de production de la fibre ainsi que sur ses propriétés mécaniques et donc sur sa qualité. Trois grandeurs se distinguent particulièrement : le diamètre de la fibre, la vitesse de fibrage et de la tension de fibrage. Le diamètre de la fibre peut être régulé en ajustant la commande du cabestan. La vitesse et la tension de fibrage peuvent elles être commandées par l’intermédiaire de la puissance de chauffe du four et de la vitesse de descente de la préforme (). Comme représenté sur la figure 5, la tour de fibrage se décompose ainsi en deux sous-systèmes : un monovariable et un multivariable. Ces deux sous-systèmes sont indépendants l’un de l’autre du point de vue des dynamiques considérées. La constante de temps de la partie monovariable est de l’ordre de la fraction de seconde, les constantes de temps de la partie...
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Application : Identification d’une tour de fibrage
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - LJUNG (L.) - System identification : theory for the user. - second edition. Prentice Hall (1999).
-
(2) - MOONEN (M.), et al - On and Off line identifications of linear state space models. - In : International Journal of Control 49.1, p. 219-232 (1989).
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(3) - ZEIGER (H.P.), MC EWEN (A.J.) - Approximate linear realizations of given dimension via Ho’s algorithm. - In : IEEE Transaction on Automatic Control 19, p. 153 (1974).
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(4) - VAN OVERSCHEE (P.), DE MOOR (B.) - Subspace identification for linear systems. Theory, implementation applications. - Leuven : Kluver Academic Publishers (1996).
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(5) - VERHAEGEN (M.) - Identification of the deterministic part of MIMO state space models given in innovations form from input output data. - In : Automatica 30.1, p. 61-74 (1994).
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(6)...
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