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RÉSUMÉ
Cet article propose un tour d’horizon sur les systèmes dynamiques hybrides, c’est-à-dire les systèmes combinant des dynamiques continues et des dynamiques discrète. Après avoir présenté le formalisme hybride qui permet de traiter cette classe de systèmes, les concepts clés de solutions et de stabilité sont abordés via des définitions mathématiques et illustrés par des exemples. Des conditions suffisantes pour prouver la stabilité asymptotique uniforme globale pour un système dynamique hybride sont alors proposées via l’utilisation d’une fonction de Lyapunov, associée dans certains cas au principe d’invariance de LaSalle.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Isabelle QUEINNEC : Directrice de recherche - LAAS, CNRS, Toulouse, France
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Sophie TARBOURIECH : Directrice de recherche - LAAS, CNRS, Toulouse, France
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Luca ZACCARIAN : Directeur de recherche - LAAS, CNRS, Toulouse, France et Université de Trento, Italie
INTRODUCTION
Les systèmes dynamiques sont généralement classifiés selon que le temps évolue de manière continue, auquel cas on parle de systèmes dynamiques à temps continu, ou de manière discrète, auquel cas on parle de systèmes dynamiques à temps discret. Ces deux classes de systèmes ont largement été étudiées dans la littérature, mais généralement de manière indépendante (voir par exemple , ), en utilisant des équations différentielles pour les systèmes continus et des équations aux différences pour les systèmes discrets. Il existe cependant de nombreux systèmes physiques qui combinent les deux types de comportement, tels que les systèmes mécaniques contrôlés de manière numérique, ou les circuits électroniques qui combinent composants analogiques et numériques. De même, les systèmes dynamiques avec impacts, les systèmes basés événements, pour ne citer que ces deux exemples, nécessitent de combiner de façon adéquate des comportements décrits par des équations différentielles et des comportements décrits par des équations aux différences. Les réseaux sociaux et leurs études peuvent être considérés comme un autre champs d’application des systèmes dynamiques hybrides (voir par exemple ). Pour plus de détails et d’exemples, le lectorat peut consulter le chapitre 1 de .
Les systèmes à réinitialisation (reset control) sont une autre classe de systèmes qui mixent dynamiques continues et événements discrets . Ils ont été introduits dans les années 1950 dans l’idée d’exploiter la réinitialisation pour améliorer le comportement d’un système contrôlé avec un simple contrôleur linéaire , , . Un récent tour d’horizon de cette classe de systèmes hybrides peut être trouvé dans .
Que le système physique combine des dynamiques continues et discrètes ou que ce soit la stratégie de contrôle qui combine ces deux dynamiques, un cadre unifié de représentation est donné par la notion de système dynamique hybride , , , , telle qu’elle va être décrite dans cet article. Les sections qui suivent permettront de mettre en exergue l’importance de traiter correctement la stabilité et la notion de solutions, loin d’être aussi évidentes que dans le cas d’un système dynamique continu ou discret.
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Étudier la stabilité d’un système dynamique hybride par la théorie de Lyapunov
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3. Concept de stabilité d’un système dynamique hybride
Pour rappel, la stabilité d’un système linéaire
fait implicitement référence aux propriétés de stabilité de l’origine, qui est toujours un point d’équilibre. Pour le cas des systèmes hybrides, cette notion de stabilité, plus complexe, est précisée dans les sections qui suivent.
3.1 Stabilité d’un point d’équilibre
Intuitivement, le concept de stabilité au sens de Lyapunov d’un point d’équilibre xe exprime l’idée que les solutions initialisées suffisamment proches de xe sont forcées d’évoluer en restant arbitrairement proches de xe , [S 7 430]. En particulier, pour chaque ε > 0, si l’on perturbe suffisamment la condition initiale (« suffisamment » signifiant « dans une boule de rayon δ(ε) »), alors toute l’évolution reste dans une boule de rayon ε centrée en xe . De plus, sans perte de généralité, on peut ramener le problème d’analyse de la stabilité d’un point xe à celui de l’origine.
L’origine du système
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Concept de stabilité d’un système dynamique hybride
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - VAN DER SCHAFT (A.J.), SCHUMACHER (J.M.) - Introduction to hybrid dynamical systems. - London, UK: Springer-Verlag, ISBN: 1852332336 (1999).
-
(2) - DAAFOUZ (J.), TARBOURIECH (S.), SIGALOTTI (M.) (Eds.) - Hybrid systems with constraints. - John Wiley & Sons (2013).
-
(3) - FRASCA (P.), TARBOURIECH (S.), ZACCARIAN (L.) - Hybrid models of opinion dynamics with opinion-dependent connectivity. - Automatica 100, p. 153-161 (février 2019).
-
(4) - GOEBEL (R.), SANFELICE (R.G.), TEEL (A.R.) - Hybrid dynamical systems: modeling, stability, and robustness. - New Jersey: Princeton University Press (2012).
-
(5) - BAÑOS (A.), BARREIRO (A.) - Reset control systems. - Springer (2011).
-
(6) - CLEGG (J.C.) - A nonlinear integrator for...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Hybrid Systems Simulation Toolbox pour MATLAB/Simulink (HyEQ) developé par Ricardo Sanfelice
https://hybrid.soe.ucsc.edu/software
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