Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article propose un tour d’horizon sur les systèmes dynamiques hybrides, c’est-à-dire les systèmes combinant des dynamiques continues et des dynamiques discrète. Après avoir présenté le formalisme hybride qui permet de traiter cette classe de systèmes, les concepts clés de solutions et de stabilité sont abordés via des définitions mathématiques et illustrés par des exemples. Des conditions suffisantes pour prouver la stabilité asymptotique uniforme globale pour un système dynamique hybride sont alors proposées via l’utilisation d’une fonction de Lyapunov, associée dans certains cas au principe d’invariance de LaSalle.
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This paper provides an overview of hybrid dynamical systems, namely systems that comprise continuous and discrete dynamics. After presenting a mathematical framework that allows describing this class of systems, the key ideas behind the solution and stability concepts are presented mathematically and illustrated by examples. Some sufficient conditions for proving global uniform asymptotic stability are then proposed, by relying on Lyapunov functions, possibly associated with the LaSalle invariance principle.
Auteur(s)
-
Isabelle QUEINNEC : Directrice de recherche - LAAS, CNRS, Toulouse, France
-
Sophie TARBOURIECH : Directrice de recherche - LAAS, CNRS, Toulouse, France
-
Luca ZACCARIAN : Directeur de recherche - LAAS, CNRS, Toulouse, France et Université de Trento, Italie
INTRODUCTION
Les systèmes dynamiques sont généralement classifiés selon que le temps évolue de manière continue, auquel cas on parle de systèmes dynamiques à temps continu, ou de manière discrète, auquel cas on parle de systèmes dynamiques à temps discret. Ces deux classes de systèmes ont largement été étudiées dans la littérature, mais généralement de manière indépendante (voir par exemple , ), en utilisant des équations différentielles pour les systèmes continus et des équations aux différences pour les systèmes discrets. Il existe cependant de nombreux systèmes physiques qui combinent les deux types de comportement, tels que les systèmes mécaniques contrôlés de manière numérique, ou les circuits électroniques qui combinent composants analogiques et numériques. De même, les systèmes dynamiques avec impacts, les systèmes basés événements, pour ne citer que ces deux exemples, nécessitent de combiner de façon adéquate des comportements décrits par des équations différentielles et des comportements décrits par des équations aux différences. Les réseaux sociaux et leurs études peuvent être considérés comme un autre champs d’application des systèmes dynamiques hybrides (voir par exemple ). Pour plus de détails et d’exemples, le lectorat peut consulter le chapitre 1 de .
Les systèmes à réinitialisation (reset control) sont une autre classe de systèmes qui mixent dynamiques continues et événements discrets . Ils ont été introduits dans les années 1950 dans l’idée d’exploiter la réinitialisation pour améliorer le comportement d’un système contrôlé avec un simple contrôleur linéaire , , . Un récent tour d’horizon de cette classe de systèmes hybrides peut être trouvé dans .
Que le système physique combine des dynamiques continues et discrètes ou que ce soit la stratégie de contrôle qui combine ces deux dynamiques, un cadre unifié de représentation est donné par la notion de système dynamique hybride , , , , telle qu’elle va être décrite dans cet article. Les sections qui suivent permettront de mettre en exergue l’importance de traiter correctement la stabilité et la notion de solutions, loin d’être aussi évidentes que dans le cas d’un système dynamique continu ou discret.
L'expertise technique et scientifique de référence
KEYWORDS
stability | Hybrid dynamical systems | Attractor | Reset systems
DOI (Digital Object Identifier)
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Sigles, notations et symboles
En anglais
7. Glossaire
Fonction absolument continue ; Absolutely continuous function
De manière équivalente, fonction qui coïncide avec l’intégrale de sa dérivée.
Fonction différentiable presque partout ; Almost everywhere differentiable function
Fonction
différentiable pour toutes les valeurs de t sauf pour un ensemble de points isolés.
Ensemble compact ; Compact set
Ensemble fermé (la frontière appartient à l’ensemble) et borné.
Fonction de classe
; Class
function
Fonction s → α(s), définie de
dans
, α(0) = 0, continue, strictement croissante, et
. Une propriété importante de ce type de fonction est qu’elle est globalement inversible et que son inverse est aussi une fonction de classe
.
Fonction définie positive ; Positive definite function
Fonction s → ρ(s) définie de
dans
telle que ρ(0) = 0 et ρ(s) > 0 pour tout s > 0.
...
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Glossaire
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - VAN DER SCHAFT (A.J.), SCHUMACHER (J.M.) - Introduction to hybrid dynamical systems. - London, UK: Springer-Verlag, ISBN: 1852332336 (1999).
-
(2) - DAAFOUZ (J.), TARBOURIECH (S.), SIGALOTTI (M.) (Eds.) - Hybrid systems with constraints. - John Wiley & Sons (2013).
-
(3) - FRASCA (P.), TARBOURIECH (S.), ZACCARIAN (L.) - Hybrid models of opinion dynamics with opinion-dependent connectivity. - Automatica 100, p. 153-161 (février 2019).
-
(4) - GOEBEL (R.), SANFELICE (R.G.), TEEL (A.R.) - Hybrid dynamical systems: modeling, stability, and robustness. - New Jersey: Princeton University Press (2012).
-
(5) - BAÑOS (A.), BARREIRO (A.) - Reset control systems. - Springer (2011).
-
(6) - CLEGG (J.C.) - A nonlinear integrator...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Hybrid Systems Simulation Toolbox pour MATLAB/Simulink (HyEQ) developé par Ricardo Sanfelice
https://hybrid.soe.ucsc.edu/software
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