Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
L’approximation de modèles dynamiques vise à s’affranchir des problématiques de calcul inhérentes aux modèles complexes de grande dimension en construisant une représentation plus simple mais toujours représentative. Dès lors, ce modèle de substitution peut être utilisé efficacement pour de la simulation, du contrôle, de l’optimisation, etc. Cet article traite plus particulièrement de méthodes dédiées à l’approximation de modèles dynamiques linéaires. Deux cas sont abordés : l’approximation d’un modèle décrit par une équation différentielle ordinaire linéaire de grande dimension par un modèle de même nature d’une part et l’interpolation de données fréquentielles d’autre part.
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Dynamical model approximation aims at alleviating numerical issues induced by large-scale complex models by building a simpler but still representative model. Such a surrogate model can then be used efficiently for simulation, control, optimisation, etc. This article deals with methods dedicated to the approximation of linear dynamical models. Two cases are addressed : the approximation of a model described by a large-scale linear ordinary differential equation by a model of the same nature and the interpolation of frequency-domain data.
Auteur(s)
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Charles POUSSOT-VASSAL : Chercheur - ONERA, département Traitement de l’information et systèmes, Toulouse, France
-
Pierre VUILLEMIN : Chercheur - ONERA, département Traitement de l’information et systèmes, Toulouse, France
INTRODUCTION
L’utilisation de modèles mathématiques pour représenter des phénomènes ou systèmes physiques s’est imposée comme une norme en ingénierie. En effet, les opportunités offertes par de tels modèles pour la simulation, le contrôle, l’optimisation et l’analyse semblent inépuisables. Cette tendance s’accompagne d’un besoin sans cesse croissant d’avoir des modèles de plus en plus complets et précis, permettant de représenter la réalité avec une très grande fidélité. Cela est accentué par l’évolution des technologies informatiques qui permettent, au travers de logiciels de calcul dédiés, de générer des modèles d’une très grande précision.
Toutefois, une telle précision s’accompagne généralement d’une grande complexité. Dans le cas des systèmes dynamiques, cette complexité se traduit soit par un nombre d’états très important et on parle alors de modèles de grande dimension, soit par des modèles ayant une structure mathématique inappropriée. Dès lors, les tâches rendues possibles par des modèles mathématiques telles que la simulation sont largement complexifiées, voire rendues impossibles à mener du fait de contraintes technologiques des ordinateurs en termes de mémoire et de capacité de calcul.
C’est dans ce contexte que l’approximation ou la réduction de modèle intervient. Il s’agit de simplifier un modèle dynamique de grande dimension tout en préservant, au mieux, son comportement et ses caractéristiques principales. Cet article se focalise sur le cas des modèles dynamiques linéaires. Les outils mathématiques utiles pour la compréhension du problème et un panel varié de méthodes existantes pour le traiter sont détaillés.
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KEYWORDS
model reduction | model approximation | large-scale dynamical models
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4. Conclusion
L’approximation de modèles linéaires est considérée par certains comme un sujet clos, et, s’il est vrai que les fondements des techniques développées ne changeront probablement plus beaucoup, un effort considérable reste à fournir pour surmonter les problèmes numériques qui peuvent surgir dans ce cas simple. En particulier, le calcul des normes des erreurs reste très délicat quand des modèles à plusieurs dizaines de milliers d’états sont impliqués et certains algorithmes restent numériquement très sensibles quand ils sont utilisés sur des modèles mal conditionnés.
De plus, des indicateurs accessibles et fiables d’analyse de la qualité d’un modèle réduit restent largement sous-développés, notamment pour juger de la pertinence d’un modèle réduit pour certaines tâches spécifiques comme la synthèse de contrôleur. En effet, les techniques présentées dans cet article sont des techniques qui visent à reproduire le comportement en boucle ouverte d’un modèle, mais peu de garanties existent pour préjuger de la similitude des comportement en boucle fermée. Au-delà des modèles linéaires tels que considérés dans cet article, la problématique d’approximation de modèles de grande dimension reste un domaine de recherche très actif. La tendance vise à étendre les méthodes qui ont été présentées ici à des structures de modèles plus riches : linéaire paramétrique, hybride, bilinéaire, linéaire variant dans le temps ou encore directement non linéaire. Toutefois, du fait de la complexité de ces structures et des concepts théoriques associés, les garanties offertes par les méthodes sont souvent assez restreintes et rendent le processus d’approximation relativement heuristique et délicat pour le moment.
Parmi les structures de modèle évoquées, l’approximation de modèles linéaires paramétriques nous semble être la prochaine étape la plus intéressante et accessible. En effet, une telle structure est à la fois bien plus générale qu’un simple modèle linéaire et de nombreux outils théoriques d’analyse restent disponibles pour évaluer la qualité du modèle réduit. Cela ouvre par ailleurs la voie à la création de modèles dynamiques efficaces dans des processus d’optimisation multidisciplinaires.
La possibilité de pouvoir réduire de manière...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - COOMAN (A.) et al. - Model-free closed-loop stability analysis : A linear functional approach. - In : IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 66.1, p. 73-80 (2018).
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(2) - GLOVER (K.) - All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their
-error bounds. - In : International Journal of Control 39.6, p. 1115-1193 (1984).
-
(3) - MARI (J.) - Modifications of rational transfer matrices to achieve positive realness. - In : Signal Processing 80.4, p. 615-635 (2000).
-
(4) - BENNER (P.), STYKEL (T.) - Surveys in Differential-Algebraic Equations IV. Differential-Algebraic Equations Forum. - In : Springer. A. Ilchmann et T. Reis Eds., Chap. Model order reduction for differential-algebraic equations : a survey (2016).
-
(5) - TOMLJANOVIC (Z.), BEATTIE (C.A.), GUGERCIN (S.) - Damping optimization of parameter dependent mechanical systems by rational interpolation....
ANNEXES
MOR DIGITAL SYSTEMS (2019). MOR Toolbox (version MATLAB)
Sur http://mordigitalsystems.fr/
THE MATHWORKS.MATLAB.
HAUT DE PAGE
MOR DIGITAL SYSTEMS
(page consultée le 22 janvier 2019)
MOR Wiki
https://morwiki.mpi-magdeburg.mpg.de/morwiki/
(page consultée le 22 janvier 2019)
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