Bibliographie & annexes
Présentation
English
RÉSUMÉ
Dans cet article, nous exposons les étapes pour synthétiser une loi de commande pour un système représentant un phénomène de transfert (ou de transport). La première étape consiste à créer un modèle du système basé sur les équations régissant
son comportement. On peut alors analyser le comportement naturel du système. La deuxième étape définit un point de fonctionnement souhaité, sur lequel les trajectoires doivent être. Enfin, la troisième étape porte sur la conception d’une loi de commande assurant la stabilité du point de fonctionnement. Diverses méthodes, telles que la méthode des caractéristiques, l’approche fréquentielle, la méthode de Lyapunov ou le backstepping, sont présentées.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Vincent ANDRIEU : Directeur de recherches CNRS, LAGEPP CNRS
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Jean AURIOL : Chargé de recherches CNRS, L2S CNRS
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Swann MARX : Chargé de recherches CNRS, LS2N CNRS
INTRODUCTION
Les phénomènes de transfert sont des processus physiques qui décrivent la manière dont différentes quantités physiques se déplacent et se propagent à travers l’espace et le temps. Ces quantités peuvent être la chaleur, la masse, la quantité de mouvement, la charge électrique, le potentiel électrique, la concentration, et bien d’autres encore. Les phénomènes de transfert sont donc étudiés dans de nombreux domaines de la physique tels que la mécanique des fluides, la thermodynamique, la physique des matériaux, la physique des particules et la chimie. De ce fait, ils constituent des éléments essentiels de l’ingénierie. Par exemple, le transfert de chaleur est un phénomène de transport essentiel pour la conception de systèmes de refroidissement et de chauffage. La diffusion des molécules à travers une membrane est aussi un phénomène de transport crucial pour le fonctionnement des cellules vivantes et joue donc un rôle clé en bio-ingénierie et en médecine.
La compréhension, le contrôle et l’observation de systèmes faisant intervenir des phénomènes de transport s’avèrent essentiels pour résoudre des problèmes pratiques dans de nombreux domaines. En général, les quantités transportées font intervenir des grandeurs qui varient en fonction de la position spatiale et du temps. Ainsi, les modèles sont-ils en général donnés par des équations aux dérivées partielles (EDPs). Il faut donc utiliser des outils adaptés à ce type de système. L’automatique pour des systèmes décrits par des EDPs a fait l’objet d’une attention particulière ces dernières années. De nombreuses techniques ont été développées à ce sujet. Dans cet article, nous donnons un panorama des différentes méthodes permettant de concevoir des lois de commande pour des phénomènes de transport décrits par des EDPs. L’article est structuré de la façon suivante. Dans un premier temps, nous présentons les méthodes usuelles pour obtenir un modèle mathématique représentatif de ces phénomènes. Dans un deuxième temps, nous donnons les différents éléments d’analyse pour étudier le comportement d’un tel système. La troisième section adresse la problématique de commande pour des systèmes d’équations aux dérivées partielles avant de finalement conclure.
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MOTS-CLÉS
Stabilisation Equation aux dérivées partielles phénomènes de transfert analyse de Lyapunov, backstepping
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Analyse des phénomènes de transfert à partir d’un modèle
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1. Modélisation des phénomènes de transfert
De nombreuses méthodes de contrôle des phénomènes de transfert nécessitent la modélisation mathématique de ces systèmes. Par moments, nous parlerons aussi d’équations de transport pour désigner les équations régissant les phénomènes de transfert. En utilisant des équations qui décrivent les flux de matière, d’énergie ou de quantité de mouvement, il est possible d’obtenir des équations qui décrivent le comportement au cours du temps de ces systèmes. Dans cette section, nous proposons un bref aperçu de quelques formes d’équations aux dérivées partielles. Ces modèles sont représentatifs des types d’EDPs qui surviennent généralement dans la description mathématique de ces phénomènes de transfert.
1.1 Lois de conservation locales et équations de bilan
1.1.1 Structure des modèles d’équations de transfert
Le principal outil permettant de décrire les phénomènes de transfert sont les lois de conservation et les équations de bilan. Une loi de conservation stipule qu’une propriété mesurable particulière d’un système physique (dénotée
dans la suite) ne peut évoluer dans le temps qu’avec des échanges à la frontière avec des flux entrants et sortants. Ces lois de conservation comprennent par exemple la conservation de la masse et de l’énergie, la conservation du moment linéaire, la conservation du moment cinétique, la conservation de la charge électrique… Dans le cas des équations de bilan, des phénomènes de dissipation interne peuvent aussi modifier les quantités considérées. Par exemple, un amortissement va atténuer la propagation d’une onde. Aussi, pour certains phénomènes (plus rares), il peut y avoir des termes antidissipatifs qui viennent exciter le système.
Des modèles dynamiques peuvent être obtenus à partir de ces lois. Formellement, pour
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Modélisation des phénomènes de transfert
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AARSNES (U.J.F.) et al - Estimating friction factors while drilling. - Journal of Petroleum Science and Engineering 179, p. 80-91 (2019).
-
(2) - AURIOL (J.), DI MEGLIO (F.) - An explicit mapping from linear first order hyperbolic PDEs to difference systems. - Systems & Control Letters 123, p. 144-150 (2019).
-
(3) - AURIOL (J.), DI MEGLIO (F.) - Minimum time control of heterodirectional linear coupled hyperbolic PDEs. - Automatica 71, p. 300-307 (2016).
-
(4) - AURIOL (J.), DI MEGLIO (F.) - Robust output feedback stabilization for two heterodirectional linear coupled hyperbolic PDEs. - Automatica 115, p. 108896 (2020).
-
(5) - BASTIN (G.), CORON (J.-M.) - Stability and Boundary Stabilization of 1-D Hyperbolic Systems. - Springer (2016).
-
(6) - CORON (J.-M.), HU (L.), OLIVE...
ANNEXES
D’une manière générale, l’outil numérique utilisé pour la synthèse de lois de commande pour des équations aux dérivées partielles (EDP) est MATLAB avec le module Simulink. Certains outils spécialisés incluent COMSOL Multiphysics, ANSYS, et d’autres environnements de modélisation et simulation numérique.
HAUT DE PAGEConférences et workshops (liste non exhaustive)
IEEE Conference on Decision and Control
IFAC World Congress
IFAC Conference of Partial Differential Equations
Organismes – Fédérations – Associations (liste non exhaustive)International Federation of Automatic Control https://www.ifac-control.org
GDR MACS https://gdr-macs.cnrs.fr
Documentation – Formation – Séminaires (liste non exhaustive)Krstic (M.) – Boundary control of PDEs: A course on Backstepping desing
http://flyingv.ucsd.edu/krstic/talks/talks-files/siam-book-course.pdf
Laboratoires – Bureaux d’études – Écoles – Centres de recherche (liste non exhaustive)Laboratoire des signaux et systèmes (L2S) https://l2s.centralesupelec.fr
Laboratoire des sciences du numérique de Nantes (LS2N) http://www.ls2n.fr
Gipsa-lab https://www.gipsa-lab.grenoble-inp.fr
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