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RÉSUMÉ
Cet article traite de la synthèse anti-windup, technique de retouche d’un contrôleur qui permet de prendre en compte de manière explicite les phénomènes de saturation des actionneurs et de réduire leur impact négatif sur la dynamique d’un système commandé. Le procédé est décrit par un modèle d’état dynamique linéaire, de même que son contrôleur nominal construit a priori sans tenir compte des saturations. Les méthodes proposées
s’appuient sur l’utilisation de conditions de secteurs afin d’encapsuler la fonction saturation et exploitent la stabilité de Lyapunov au travers de fonctions quadratiques permettant d’exprimer les conditions de stabilité et de performances par des inégalités matricielles linéaires.
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Anti-windup design addressed in the paper is a controller reshaping technique allowing to explicitly take into account actuator saturation constraints and mitigate their effect on the closed-loop system dynamics. Both the process and the controller are described by linear state-space systems. The controller may be a priori designed without considering saturation elements. The anti-windup design approaches take advantage of sector conditions
used to encapsulate the saturation function. Quadratic Lyapunov functions are used to generate linear matrix inequalities based stability and performance conditions.
Auteur(s)
-
Sophie TARBOURIECH : Directrice de recherche - LAAS, CNRS, Toulouse, France
-
Isabelle QUEINNEC : Directrice de recherche - LAAS, CNRS, Toulouse, France
INTRODUCTION
Un procédé commandé implique la mise à jour d’une entrée de commande, calculée en utilisant l’erreur entre une mesure de la sortie et sa consigne, au travers d’un actionneur. Dans le cas idéal, l’actionneur peut être représenté par un « fil » reliant la sortie du contrôleur et l’entrée du système. Dans la pratique, l’actionneur peut présenter un comportement dynamique, mais surtout une plage de fonctionnement limitée entre deux bornes, inférieure et supérieure. Ces limites sur la zone de fonctionnement linéaire de l’actionneur se traduisent par la notion de saturation de l’actionneur. Il s’agit d’un phénomène non linéaire qui a comme effets indésirables de dégrader le comportement nominal du système, dans le meilleur des cas, voire de destabiliser le système contrôlé dans les cas extrêmes.
Pour éviter les effets indésirables de la saturation de l’actionneur, une solution classiquement utilisée est de surdimensionner l’actionneur, ce qui induit un coût supplémentaire tant du point de vue de la charge transportée, de l’énergie dépensée, que du prix de l’actionneur lui-même. Une deuxième solution classique est de limiter les performances (rapidité) du contrôleur pour éviter, autant que possible, de s’approcher des limites de fonctionnement linéaire de l’actionneur.
La commande anti-windup est une alternative permettant d’utiliser au mieux les capacités de l’actionneur en autorisant les saturations tout en préservant la stabilité (et les performances) du système commandé dans la plage de fonctionnement prévue pour le système. Son principe est de réinjecter l’erreur commise par l’actionneur en entrée du système de commande. Cette retouche du contrôleur n’est active que lorsque l’actionneur est saturé. Ainsi, le comportement nominal du système commandé, conçu à l’origine sans se préoccuper des non-linéarités de l’actionneur, n’est pas modifié. Dans sa version la plus simple, la synthèse d’une commande anti-windup peut s’apparenter à la synthèse d’un simple gain supplémentaire, et ne présente pas plus de difficulté que la synthèse d’un correcteur PID.
Par extension, la commande anti-windup s’applique aussi pour contrer les saturations en vitesse ou de dynamiques supérieures de l’actionneur, voire d’autres types de non-linéarités d’actionneurs, bien que ceci ne soit pas traité dans cet article.
le lecteur trouvera en fin d’article un tableau des sigles, notations et symboles utilisés tout au long de l’article.
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MOTS-CLÉS
KEYWORDS
Control | Control | Actuators | saturations | anti-windup
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5. Illustrations
5.1 Exemple de synthèse d’un correcteur anti-windup
Un modèle simplifié de la dynamique d’un hélicoptère dans le plan vertical permet d’illustrer la synthèse et l’effet d’un anti-windup sur le comportement dynamique du système. Ce modèle a été décrit dans par le passé et utilisé plus récemment dans en tenant compte des saturations des actionneurs (en position et vitesse). Il comporte quatre variables d’état relatives à la vitesse horizontale, à la vitesse verticale, à la vitesse d’inclinaison et à l’angle de tangage (ou d’inclinaison) et deux entrées de commandes : la commande de pas collectif et la commande cyclique longitudinale. La dynamique est considérée de manière approximative, comme invariante dans le temps, et l’effet des variations de vitesse sur la dynamique de la vitesse d’inclinaison est traduite par le biais d’une perturbation additive. Le modèle numérique ainsi obtenu, instable, est donné par :
Un contrôleur par défaut est construit pour ce système à partir de la commande place de MATLAB, utilisée pour construire un gain de retour d’état K et un gain d’observation L, de la forme :
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Illustrations
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GLATTFELDER (A.H.), SCHAUFELBERGER (W.) - Control systems with input and output constraints. - Springer-Verlag, London (2003).
-
(2) - HIPPE (P.) - Windup in control. Its effects and their prevention. - Germany : AIC, Springer (2006).
-
(3) - BRIEGER (O.) et al. - Anti-windup compensation of rate saturation in an experimental aircraft. - In American Control Conference. New York, p. 924-929 (2007).
-
(4) - ROOS (C.) et al. - On-ground aircraft control design using a parameter-varying anti-windup approach. - In Aerospace Science and Technology 14.7, p. 459-471 (2010).
-
(5) - FASANO (G.), PINTER (J.D.) (Eds.) - Modeling and Optimization in Space Engineering. - T. 73. Springer Optimization et its Applications (2013).
-
(6) - TARBOURIECH (S.) et al. - ...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
SATAW-Tool, a SATuration AWare matlab Toolbox, CNRS, LAAS, Toulouse, France (2013) [ http://homepages.laas.fr/queinnec/sataw-tool.html].
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