Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Cet article est destiné à introduire la notion de modèle, relatif à la résolution d'un problème dit "direct", en conduction thermique. Ce modèle permet de traiter classiquement une forme spécifique de l'équation de la chaleur et de ses conditions associées, grâce à la prise en compte du type de mesure(s) de température dont on peut disposer pour alimenter, par la suite, la démarche dite "inverse". Les différents types de modèles, ainsi que les grandeurs utilisées, sont d'abord présentés en optant pour une approche largement répandue en dynamique des systèmes, qui lie entrée(s) et sortie(s). Les techniques d'instrumentation actuellement disponibles pour mesurer la température sont ensuite passées en revue, en particulier le principe de mesure, la loi d'étalonnage et les caractéristiques stochastiques du bruit sur le signal. La notion de sensibilité, qui découle directement du modèle adopté, est enfin abordée : elle constitue un outil incontournable pour assurer, par la suite, la réussite d'une inversion.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Denis MAILLET : Professeur à l'Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL) - Laboratoire d'Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) – CNRS et Nancy-Université
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Yvon JARNY : Professeur à l'École Polytechnique de l'Université de Nantes - Laboratoire de Thermocinétique – UMR CNRS 6607 Nantes
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Daniel PETIT : Professeur à l'École Nationale Supérieure de Mécanique et d'Aérotechnique (ENSMA) - Institut P′ UPR CNRS 3346 Département Fuides, Thermique, Combustion – Poitiers
INTRODUCTION
Ce dossier est le premier d'une série de trois dossiers ([BE 8 265], [BE 8 266] et [BE 8 267]). Il est destiné à introduire la notion de modèle, relatif à la résolution d'un problème dit « direct », en conduction thermique où l'équation de la chaleur permet de déduire les températures à partir du flux thermique excitateur. Ce modèle permet ensuite, grâce à la prise en compte de mesure(s) de température, d'alimenter la démarche dite « inverse » visant à remonter au flux thermique. Les différents types de modèles, ainsi que les grandeurs utilisées, sont d'abord présentés, en optant pour une approche largement répandue en dynamique des systèmes, et qui lie entrée(s) et sortie(s). Les techniques d'instrumentation actuellement disponibles pour mesurer la température sont ensuite passées en revue, en insistant sur le principe de mesure, la loi d'étalonnage et les caractéristiques stochastiques du bruit sur le signal. La notion de sensibilité, qui découle directement du modèle adopté, est enfin abordée : elle constitue un outil incontournable pour assurer, par la suite, la réussite d'une inversion.
Nous attirons l'attention du lecteur sur le fait qu'actuellement, seule la version pdf de ce dossier permet une notation pertinente, la version électronique ne permettant pas de mettre en évidence les différences.
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VERSIONS
- Version courante de juin 2018 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT
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Présentation
Mesures de température et problème inverse d'étalonnage2. Équation de la chaleur : quel modèle utiliser ?
2.1 Exemple 1 : mur semi-infini en régime transitoire
La figure 1 représente un massif semi-infini dans la direction x qui est excité sur sa face x = 0 par un flux de chaleur de densité u (W · m–2) à l'instant initial t = 0. La température initiale T0 (x ) est a priori non uniforme. Un capteur de température est implanté à une profondeur xc dans le massif et délivre un signal y. À partir de l'instant initial, un champ de température unidimensionnel transitoire T (x, t ) se développe dans le massif.
Ce champ de température, que l'on appelle aussi ici « état » du système, est solution de l'équation de la chaleur, qui est ici une équation aux dérivées partielles, ainsi que de ses conditions limites et initiale associées. Ces équations sont appelées « équations d'état » de ce système thermique. Elles font intervenir la conductivité thermique λ (W · m–1 · K–1) du massif, ainsi que sa diffusivité thermique a = λ/ρc (m2 · s–1), où ρ et c sont respectivement sa masse volumique (kg · m–3) et sa capacité thermique massique (J · kg–1 · K–1). Le signal théorique du capteur ymo (réponse du modèle), suite à l'excitation u du massif, est alors donné par l'équation de sortie suivante :
( 1 )
Les équations d'état constituent ici une représentation interne du problème direct qui permet de calculer la réponse du système à partir de l'excitation, puis la réponse du capteur est particularisée par l'équation de sortie.
Ici, il est possible de résoudre analytiquement les équations d'état et de calculer directement la sortie car nous avons affaire à un système linéaire causal et invariant en temps ...
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Équation de la chaleur : quel modèle utiliser ?
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - SHUMAKOV (N.V.) - A method for the experimental study of the process of heating a solid body. - Soviet Physics-Technical Physics (Translated by the American Institute of Physics), 2, p. 771 (1957).
-
(2) - BECK (J.V.), BLACKWELL (B.), ST-CLAIR (Jr.C.R.) - Inverse heat conduction – Ill – Posed problems. - Épuisé, mais des copies reliées spirales peuvent être distribuées directement par BECK (J.V.), Wiley, New York, 308 p. (1985).
-
(3) - BECK (J.V.), COLE (K.D.), HAJI-SHEIKH (A.), LITKOUHI (B.) - Heat conduction using green's functions. - Hemisphere, London (1992).
-
(4) - OZISIK (M.N.) - Heat conduction. - 2nd edition, Wiley, Chichester (1993).
-
(5) - MAILLET (D.), HOULBERT (A.S.), DIDIERJEAN (S.), LAMINE (A.S.), DEGIOVANNI (A.) - Nondestructive thermal evaluation of delaminations inside a laminate – Part I : Identification using the measurement of a thermal contrast – Part II : The experimental Laplace transforms method. - Composites Science and Technology. Elsevier Applied Science, vol. 47, no 2, p. 137-154 et 155-172 (1993).
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
Logiciel INVLAP d'inversion numérique de la transformation de Laplace par l'algorithme de De Hoog http://www.cambridge.org/us/engineering/author/nellisandklein/downloads/invlap.m
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Société française de thermique http://www.univ-provence.fr
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