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Auteur(s)
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Jean-Loup CHENOT : Ingénieur diplômé de l’École Polytechnique - Docteur ès Sciences - Directeur du Centre de Mise en Forme de l’École des Mines de Paris
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les méthodes de calcul en plasticité ont profondément évolué ces dix dernières années, à partir des travaux des pionniers en viscoplasticité et en élastoplasticité . Les méthodes utilisées jusque là : méthode des tranches, méthodes extrémales, méthode des lignes de glissement, méthode de viscoplasticité, sont progressivement remplacées par la méthode des éléments finis dont la puissance et la souplesse permettent de prendre en compte des géométries complexes, des comportements de plus en plus réalistes, et de développer des codes de calcul utilisables dans l’industrie. Ces changements ont été rendus possibles par l’augmentation spectaculaire des performances des ordinateurs de coût abordable par une entreprise moyenne, et par l’apparition des stations de travail comportant un terminal graphique évolué. Néanmoins les anciennes méthodes, outre leur intérêt historique, conservent un intérêt pédagogique indéniable et leur application intelligente à des problèmes complexes, en simplifiant au maximum les conditions physiques, permet d’obtenir des ordres de grandeur utiles, qu’il est souvent intéressant de comparer aux modèles sophistiqués dans lesquels une erreur de donnée est possible, et parfois difficile à détecter. Dans ce qui suit, certaines de ces méthodes seront donc rappelées brièvement en donnant les éléments indispensables à leur mise en œuvre. Nous avons volontairement exclu la méthode des lignes de glissement, dont la complexité est proche de celle des éléments finis, mais qu’il est difficile d’appliquer à des situations où la géométrie, les conditions aux limites, ou le comportement sont complexes.
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Calcul des écoulements viscoplastiques par éléments finis2. Méthodes extrémales
La méthode de la borne inférieure et la méthode de la borne supérieure découlent de l’application des théorèmes extrémaux établis pour les matériaux dont le comportement est décrit par l’approximation rigide plastique (article Plasticité en mise en forme [M 590] dans ce traité). En toute rigueur, ces théorèmes ne donnent accès qu’à des grandeurs globales : forces et couples, et ils ne fournissent d’information ni sur la distribution des contraintes, ni sur les déformations locales ou globales. Toutefois, dans de nombreux cas, ce type d’information a pû être approché grâce à ces méthodes, à condition d’étayer les résultats par une confrontation avec des relevés expérimentaux sur un certain nombre de cas particuliers.
2.1 Méthode de la borne inférieure
La méthode repose sur le théorème de la borne inférieure, elle peut être schématisée de la façon suivante :
-
construction d’un champ de contrainte approché
![]()
, dépendant éventuellement de paramètres, et vérifiant les hypothèses du théorème (équilibre, condition sur le critère, conditions aux limites en contrainte) ; -
calcul de la puissance des efforts extérieurs associés à ce champ de contrainte soit :
![]()
avec :
- v d :
- vitesse imposée définie sur la surface de Ω
-
![]()
: - puissance dissipée approchée
- T * :
- vecteur contrainte approché
...
, dépendant éventuellement de paramètres, et vérifiant les hypothèses du théorème (équilibre, condition sur le critère, conditions aux limites en contrainte) ;
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