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Auteur(s)
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Jean-Loup CHENOT : Ingénieur diplômé de l’École Polytechnique - Docteur ès Sciences - Directeur du Centre de Mise en Forme de l’École des Mines de Paris
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les méthodes de calcul en plasticité ont profondément évolué ces dix dernières années, à partir des travaux des pionniers en viscoplasticité et en élastoplasticité . Les méthodes utilisées jusque là : méthode des tranches, méthodes extrémales, méthode des lignes de glissement, méthode de viscoplasticité, sont progressivement remplacées par la méthode des éléments finis dont la puissance et la souplesse permettent de prendre en compte des géométries complexes, des comportements de plus en plus réalistes, et de développer des codes de calcul utilisables dans l’industrie. Ces changements ont été rendus possibles par l’augmentation spectaculaire des performances des ordinateurs de coût abordable par une entreprise moyenne, et par l’apparition des stations de travail comportant un terminal graphique évolué. Néanmoins les anciennes méthodes, outre leur intérêt historique, conservent un intérêt pédagogique indéniable et leur application intelligente à des problèmes complexes, en simplifiant au maximum les conditions physiques, permet d’obtenir des ordres de grandeur utiles, qu’il est souvent intéressant de comparer aux modèles sophistiqués dans lesquels une erreur de donnée est possible, et parfois difficile à détecter. Dans ce qui suit, certaines de ces méthodes seront donc rappelées brièvement en donnant les éléments indispensables à leur mise en œuvre. Nous avons volontairement exclu la méthode des lignes de glissement, dont la complexité est proche de celle des éléments finis, mais qu’il est difficile d’appliquer à des situations où la géométrie, les conditions aux limites, ou le comportement sont complexes.
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Calcul de la déformation des solides élastoplastiques par la méthode des éléments finis3. Calcul des écoulements viscoplastiques par éléments finis
Les équations les plus utilisées pour décrire en première approximation le comportement des métaux à chaud ont été explicitées dans l’article Plasticité en mise en forme [M 590] de ce traité. Le problème mécanique posé peut se formuler en terme de minimisation d’une fonctionnelle Φ (v ), mais le champ de vitesse solution doit satisfaire la condition d’incompressibilité pour les matériaux denses (div v * = 0). Plusieurs approches sont envisageables pour résoudre ce problème : il semble que la plus utilisée soit la méthode de pénalisation. On montre que la fonctionnelle à minimiser doit alors comporter un terme additionnel permettant de satisfaire, avec une approximation dépendant du coefficient de pénalisation ρ , la condition d’incompressibilité. Nous écrirons alors la fonctionnelle sous la forme :
( 19 )
avec :
- K :
- consistance du matériau
- m, p :
- indices de sensibilité à la vitesse
- α :
- coefficient de frottement
- Ωf :
- surface de l’outil en contact avec le métal
- ΩT :
- partie de Ω où T est imposé.
dans ce paragraphe et dans le suivant, nous nous efforcerons de rappeler l’essentiel de la méthode des éléments finis, afin que le lecteur puisse en comprendre le déroulement. Pour une introduction plus détaillée nous renvoyons le lecteur intéressé aux articles Apport des éléments finis à la conception mécanique ...
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