Erreurs de mesure : Estimation de la variance de l’erreur aléatoire

1.1 - Notion de variable aléatoire
1.2 - Représentation graphique des résultats de mesure

Figure 1 - Histogramme des effectifs
1.3 - Paramètres caractérisant un ensemble fini de résultats
1.4 - Population statistique

Figure 2 - Courbe de distribution Figure 3 - Notion de probabilité
1.5 - Caractéristiques de la population

Figure 4 - Densité de probabilité Tableau 1 - Correspondance entre les caractéristiques de séries finies de [...]
1.6 - Lois de probabilité. Loi normale

Figure 6 - Loi normale
1.7 - Erreurs systématiques et erreurs aléatoires
1.8 - Limites du modèle. Discontinuité des résultats

2 - ESTIMATION DE LA VARIANCE DE L’ERREUR ALÉATOIRE

2.1 - Estimation de par mesurage d’une grandeur

Tableau 2 - Exemple numérique no 1
2.2 - Estimation de par mesurage de plusieurs grandeurs

Tableau 3 - Exemple numérique no 1 (deuxième solution mesurée)
2.3 - Estimation de par comparaison entre méthodes indépendantes

Tableau 4 - Exemple numérique no 2 Tableau 5 - Exemple numérique no 3

3 - RECHERCHE ET CORRECTION DES ERREURS SYSTÉMATIQUES

3.1 - Comparaison des résultats à une valeur de référence

Figure 10 - Loi de Student Figure 12 - Courbes d’efficacité Figure 13 - Courbes d’efficacité
3.2 - Correction de l’erreur systématique
3.3 - Erreurs liées à l’étalonnage

Tableau 6 - Exemple numérique no 5

4 - ESTIMATION DES VARIANCES DES COMPOSANTES DE L’ERREUR

4.1 - Plan d’expérience
4.2 - Test de comparaison de deux variances

Figure 16 - Loi de Snedecor
4.3 - Analyse de variance à un facteur contrôlé

Tableau 7 - Tableau d’analyse de variance Tableau 8 - Exemple numérique no 6
4.4 - Analyse de variance à plusieurs facteurs contrôlés
4.5 - Variance de l’erreur totale

5 - PROPAGATION DES ERREURS

5.1 - Moyenne de résultats expérimentaux
5.2 - Fonction des résultats de mesurage d’une même grandeur
5.3 - Fonction de grandeurs de même nature

Tableau 9 - Tableau des nombres de mesurages Tableau 10 - Exemple numérique no 7. Répartition des pesées
5.4 - Fonction de grandeurs de natures différentes

6 - ESTIMATION DE LA VALEUR VRAIE

6.1 - Moyenne de résultats expérimentaux

Figure 19 - Loi de Student
6.2 - Fonction des résultats de mesurage d’une même grandeur
6.3 - Fonction de plusieurs grandeurs

Présentation

Auteur(s)

Michèle NEUILLY : Agrégée de Sciences Physiques - Ingénieur au Commissariat à l’Énergie Atomique

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INTRODUCTION

Toute mesure comporte des erreurs inévitables et, surtout dans un contexte industriel, il importe de pouvoir évaluer leur importance.

Dans une usine de transformation chimique, par exemple, on fait périodiquement des bilans de campagne à partir des masses de matière entrées en fabrication, des masses de produits finis et des matières restées dans l’installation. L’examen d’un tel bilan permet de déceler des pertes incontrôlées (dans les effluents ou dans les fumées par exemple) à condition de savoir décider si les différences constatées sont explicables ou non par les erreurs de mesure.

L’évaluation des erreurs de mesure doit tenir compte, en particulier, de l’existence éventuelle d’erreurs constantes, par exemple dues à l’emploi systématique, pour stocker les liquides, d’une cuve dont le volume a été déterminé plus ou moins précisément à la construction de l’usine. Le rôle de telles erreurs, en effet, devient prépondérant quand on considère un grand nombre de résultats, notamment pour un bilan.

On donne dans cet article des indications générales sur les méthodes d’estimation des erreurs. Des références bibliographiques sont indiquées, en fin d’article, pour résoudre des problèmes plus complexes.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-r280

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Recherche et correction des erreurs systématiques

2. Estimation de la variance de l’erreur aléatoire

2.1 Estimation de par mesurage d’une grandeur

La variance σ ² de l’erreur aléatoire totale, dans des conditions bien définies (par exemple, conditions de répétabilité), peut être estimée en répétant les mesurages d’une grandeur dans ces conditions.

Soit

x₁, x₂, ..., x _i , ..., x_n

les résultats obtenus et leur moyenne arithmétique.

On montre que la variance σ² peut être estimée par la quantité :

Si les calculs sont faits sans machine ou avec un calculateur de bureau, il faut utiliser l’identité :

Si la capacité de la machine est limitée, il est recommandé d’utiliser une variable intermédiaire :

Y = X – a

où a est un nombre voisin des x _i. On a alors :

Dans tous les cas, on peut arrondir les résultats x_i avant d’effectuer les calculs, mais il faut éviter ensuite tout arrondissage. En règle générale, on conservera pour chaque résultat individuel x _i assez de chiffres significatifs pour que les écarts aient deux chiffres significatifs.