Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Cet article propose une introduction poussée sur les notions de gouvernabilité et d’observabilité des systèmes linéaires. Dans un premier temps, l’apparition des modes ingouvernables et/ou inobservables est étudié au travers des systèmes monoentrée-monosortie et multidimensionnels. Des détails sur la structure canonique de Kalman viennent compléter ces notions. Quelques réflexions sur la gouvernabilité forte et gouvernabilité faible sont ensuite proposées. Puis, les aspects logiciels sont abordés avec l'illustration de deux techniques, la construction structurée et la réduction modale, puis la réduction équilibrée.
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This article is an in-depth introduction on the notions of the governability and observability of linear systems. The emergence of ungovernable and/or unobservable modes is studied through single-imput, single-output and multidimensional systems. These notions are completed with details on the Kalman canonical structure. Reflections on high and low governability are also proposed. Software related aspects are then dealt with and illustrated with the structured construction method , modal reduction method and balanced reduction technique.
Auteur(s)
-
André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
-
Jean-Marc BIANNIC : Maître de recherches à l’ONERA - Professeur vacataire à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Dans le dossier « Représentation d’un système linéaire », on avait introduit la représentation par modèle d’état, montré comment ce modèle pouvait être obtenu à partir d’une représentation initiale sous forme d’équation différentielle ou de fonction de transfert et comment on pouvait obtenir, pour un système complexe constitué de sous-systèmes interconnectés, un modèle d’état global conservant l’information de structure.
Pour des raisons de simplicité, les notions – pourtant fondamentales – de gouvernabilité et d’observabilité avaient été occultées et, de ce fait, on pouvait croire que les trois types de représentation : fonction de transfert, équation différentielle, modèle d’état, correspondaient à une même connaissance du système.
Il n’en est pas toujours ainsi et la représentation d’état d’un système peut être d’un ordre supérieur à celui de la fonction de transfert, voire de l’équation différentielle. Quelle est l’origine de l’existence de ces modes ? Quelles conséquences en résulte-t-il ? Ce sont deux questions fondamentales en théorie, mais aussi très importantes en pratique, auxquelles on répondra ici.
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VERSIONS
- Version courante de mai 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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Gouvernabilité et observabilité3. Structure canonique de Kalman
On a donc vu qu’il pouvait exister plusieurs sortes de modes. Ceux effectivement liés à l’entrée et à la sortie, dits gouvernables et observables (GO), ceux liés à l’entrée et pas à la sortie (G
), à la sortie et pas à l’entrée (
O), ni à l’entrée ni à la sortie
.
Supposons donc qu’un système contienne ces quatre catégories de modes, soit n 1 modes
, n 2 GO, n 3
O, n 4
O, et soient X 1, X 2, X 3 et X 4 les vecteurs d’état associés à ces divers modes.
Il est facile de voir que les équations d’état les plus générales sont de la forme :
( 6 )
La structure correspondante, visualisée figure 10 est dite structure de Kalman.
Toutes les matrices nulles apparaissant dans l’équation [5] correspondent à des liaisons impossibles (contraires...
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Structure canonique de Kalman
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BEMPORAD (A.), FERRARI-TRECATE (G.), MORARI (M.) - Observability and controllability of piecewise affine and hybrid systems. - IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, Issue 10 – pp. 1864-1876 (October 2000).
-
(2) - BIANNIC (J.-M.), FOSSARD (A.J.) - Représentation d’un systèmes linéaire. - Techniques de l’ingénieur S 7 130 Informatique Industrielle (2006).
-
(3) - CALLIER (F.M.) - Linear System Theory. - Ed. Springer (1991).
-
(4) - CORLESS (M.J.), FRAHZO (A.E.) - Linear Systems and Control. - Ed. Marcel Dekker (2003).
-
(5) - FOSSARD (A.J.) - Systèmes multientrées-multisorties. - Techniques de l’ingénieur R 7 220 Informatique Industrielle (1997).
-
(6) - FOSSARD (A.J.) - Représentation, observation et commande dans l’espace d’état....
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