Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Cet article propose une introduction poussée sur les notions de gouvernabilité et d’observabilité des systèmes linéaires. Dans un premier temps, l’apparition des modes ingouvernables et/ou inobservables est étudié au travers des systèmes monoentrée-monosortie et multidimensionnels. Des détails sur la structure canonique de Kalman viennent compléter ces notions. Quelques réflexions sur la gouvernabilité forte et gouvernabilité faible sont ensuite proposées. Puis, les aspects logiciels sont abordés avec l'illustration de deux techniques, la construction structurée et la réduction modale, puis la réduction équilibrée.
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This article is an in-depth introduction on the notions of the governability and observability of linear systems. The emergence of ungovernable and/or unobservable modes is studied through single-imput, single-output and multidimensional systems. These notions are completed with details on the Kalman canonical structure. Reflections on high and low governability are also proposed. Software related aspects are then dealt with and illustrated with the structured construction method , modal reduction method and balanced reduction technique.
Auteur(s)
-
André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
-
Jean-Marc BIANNIC : Maître de recherches à l’ONERA - Professeur vacataire à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Dans le dossier « Représentation d’un système linéaire », on avait introduit la représentation par modèle d’état, montré comment ce modèle pouvait être obtenu à partir d’une représentation initiale sous forme d’équation différentielle ou de fonction de transfert et comment on pouvait obtenir, pour un système complexe constitué de sous-systèmes interconnectés, un modèle d’état global conservant l’information de structure.
Pour des raisons de simplicité, les notions – pourtant fondamentales – de gouvernabilité et d’observabilité avaient été occultées et, de ce fait, on pouvait croire que les trois types de représentation : fonction de transfert, équation différentielle, modèle d’état, correspondaient à une même connaissance du système.
Il n’en est pas toujours ainsi et la représentation d’état d’un système peut être d’un ordre supérieur à celui de la fonction de transfert, voire de l’équation différentielle. Quelle est l’origine de l’existence de ces modes ? Quelles conséquences en résulte-t-il ? Ce sont deux questions fondamentales en théorie, mais aussi très importantes en pratique, auxquelles on répondra ici.
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- Version courante de mai 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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Aspects logiciels5. Remarques – gouvernabilité forte et gouvernabilité faible
Rappelons quelques résultats des paragraphes précédents et leurs limitations pratiques.
1. Le concept de gouvernabilité (ou d’observabilité), lié au rang de la matrice de Kalman
est générique – c’est-à-dire indépendant de la base choisie.
2. Si le système est gouvernable (c’est-à-dire si tous les vecteurs de
sont indépendants), il est possible de trouver « une » commande, permettant de passer d’un état initial X 0 à un état final X f arbitraire, en un temps « fini » (dans le cas contraire, on ne peut se déplacer qu’à l’intérieur du sous-espace de gouvernabilité).
La première condition est quelque peu du type « tout-ou-rien », comme beaucoup de conditions théoriques. Dans la pratique, les vecteurs de
peuvent être fortement… ou faiblement… indépendants. De la même façon, rien n’est dit sur l’énergie de commande à déployer (il existe « une » commande !) pour passer de X 0 à X f, ni sur l’horizon t f correspondant.
à titre d’illustration très simple, soit le système
gouvernable si b 1
0 et ingouvernable si b 1 = 0, le sous-espace de gouvernabilité étant alors x 1 = 0. On conçoit que si b 1 tend vers 0, le transfert d’un état à un autre doit être de plus en plus difficile, en particulier dans des directions éloignées...
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Remarques – gouvernabilité forte et gouvernabilité faible
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BEMPORAD (A.), FERRARI-TRECATE (G.), MORARI (M.) - Observability and controllability of piecewise affine and hybrid systems. - IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, Issue 10 – pp. 1864-1876 (October 2000).
-
(2) - BIANNIC (J.-M.), FOSSARD (A.J.) - Représentation d’un systèmes linéaire. - Techniques de l’ingénieur S 7 130 Informatique Industrielle (2006).
-
(3) - CALLIER (F.M.) - Linear System Theory. - Ed. Springer (1991).
-
(4) - CORLESS (M.J.), FRAHZO (A.E.) - Linear Systems and Control. - Ed. Marcel Dekker (2003).
-
(5) - FOSSARD (A.J.) - Systèmes multientrées-multisorties. - Techniques de l’ingénieur R 7 220 Informatique Industrielle (1997).
-
(6) - FOSSARD (A.J.) - Représentation, observation et commande dans l’espace d’état....
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