Comprendre et évaluer la capabilité d’un procédé de fabrication

Dans un monde parfait, un procédé de fabrication donnerait des produits (entités) identiques et la connaissance d’un seul permettrait de statuer sur la conformité d’une production globale. En réalité, tout procédé subit des variations (matière première, usure, environnement climatique, réglages…) et ces variations en génèrent elles-mêmes dans les caractéristiques de chaque entité produite.

Comprendre le concept de capabilité d’un procédé impose de comprendre le concept de « phénomène aléatoire » et la méthode qui tente de les décrire : l’inférence statistique.

Les phénomènes aléatoires

L’observation des valeurs produites par le lancer d’un seul dé permet de se familiariser avec les phénomènes aléatoires. Au moment du lancer, personne ne peut connaître la valeur qu’il prendra : le phénomène est aléatoire, le résultat du lancer pouvant prendre l’une des valeurs discrètes comprises entre 1 et 6. Dans le cas où le dé n’est pas pipé, il n’est pas nécessaire d’être statisticien pour savoir qu’on a une chance sur six de produire chacune des valeurs possibles. On parle alors de phénomène aléatoire équiprobable. Ce caractère équiprobable peut être visualisé par un simple histogramme réalisé à partir de quelques (plusieurs centaines tout de même pour être représentatif) lancers.

Histogramme pour 500 lancers de 1 dé

Chacun pourra comprendre qu’une simple moyenne ne suffit pas à décrire un phénomène aléatoire. L’étendue des valeurs que le phénomène peut produire, ainsi que la probabilité de chacune des valeurs possibles, doivent également être quantifiées. L’inférence statistique consiste notamment à estimer l’étendue des valeurs réelles à partir d’un simple échantillon qui ne contient donc pas nécessairement les extremums.

L’écart-type est l’outil dont dispose le statisticien pour réaliser une telle quantification. Il est représentatif de la dispersion d’un phénomène mais il doit également être associé à la loi de probabilité (équiprobable dans le cas du lancer de un dé) du phénomène concerné pour avoir un sens physique.

Il est classique, en Qualité, d’évoquer la règle des 5M. Dans ce cadre, observons ce qui se passe lorsque nous lançons cinq dés au lieu d’un seul et que nous nous intéressons à la somme des cinq faces produites lors de chaque lancer.

Histogramme des sommes pour 500 lancers de 5 dés

On remarque ici que l’histogramme n’a plus la même forme que l’histogramme précédent. Cette forme « en cloche » est très connue et elle a été particulièrement étudiée. On en connaît parfaitement toutes les propriétés et elle permet de modéliser de nombreux phénomènes aléatoires observés dans la nature. En effet, cette simple expérience permet de « comprendre » pourquoi elle suscite tant d’intérêt : en mélangeant 5 lois équiprobables, on obtient une loi normale. Et les statisticiens ont pu démontrer que lorsqu’un phénomène aléatoire trouve son origine dans la somme de plusieurs phénomènes eux-mêmes aléatoires et indépendants, la loi normale est un bon modèle pour le décrire.

La loi normale est une loi dite paramétrique. Deux paramètres permettent de la définir complètement : sa moyenne, notée µ et son écart-type, noté σ. De nombreuses publications disponibles sur internet permettent d’approfondir le sujet et nous n’en dirons pas plus ici. Il est juste utile de rappeler qu’à partir des paramètres moyenne et écart-type, il est possible de déterminer la probabilité que le phénomène produise telles ou telles valeurs, ce qui s’avère très utile lorsqu’on souhaite, par exemple, connaître la probabilité que le phénomène produise des valeurs au-dessus ou en dessous de limites, ce qui nous ramène à notre problématique de qualité.

Remarque importante

Les calculs de la moyenne et de l’écart-type à partir d’un échantillon, et quel que soit son effectif, ne donne pas accès à µ et à σ mais à des estimations de ces paramètres. On évoque alors l’estimation  de µ et l’estimation s de σ. La qualité (matérialisée par la largeur de l’intervalle de confiance autour de et s) de ces estimations peut être évaluée, pour la moyenne à partir de la loi de Student et pour l’écart-type s à partir de la loi du Khi Deux. Pour ces estimations, de nombreuses publications sont disponibles sur Internet. Elles ne sont pas développées ici. Nous rappellerons simplement que plus l’effectif est important, plus la qualité des estimations est grande, sachant qu’au-delà de 30 valeurs, la qualité ne s’améliore finalement que très peu.