Aspects mathématiques
Problèmes inverses en traitement du signal et de l’image

Dans de nombreux domaines de la physique appliquée, tels que l’optique, le radar, la thermique, la spectroscopie, la géophysique, l’acoustique, la radioastronomie, le contrôle non destructif, le génie biomédical, l’instrumentation et l’imagerie en général, se pose le problème de la détermination de la distribution spatiale d’une grandeur scalaire ou vectorielle, souvent appelée l’objet, à partir de mesures. Selon les cas, ces mesures de l’objet sont directes – on parle alors d’image – ou indirectes – on parle alors de projection dans le cas de la tomographie, ou de visibilité en astronomie, par exemple. La résolution d’un tel problème d’imagerie peut être habituellement décomposée en trois étapes :

• un problème direct où, connaissant l’objet et le mécanisme d’observation, on établit une description mathématique des données observées. Ce modèle doit être assez précis pour fournir une description correcte du phénomène physique d’observation, et assez simple cependant pour se prêter à un traitement numérique ultérieur ;

• un problème d’instrumentation où l’on doit recueillir des données le plus informatives possible afin de résoudre le problème d’imagerie dans les meilleures conditions ;

• un problème inverse où l’on doit calculer une image acceptable de l’objet à partir du modèle et des données précédents.

Une bonne estimation de l’objet nécessite évidemment que ces trois sous- problèmes soient étudiés de manière coordonnée. Or, la caractéristique commune de ces problèmes de reconstruction ou de restauration d’image est qu’ils sont souvent mal-posés ou mal-conditionnés. Les problèmes de plus haut niveau que l’on rencontre en vision par ordinateur, tels que la segmentation d’image, le traitement du flot optique, la reconstruction de formes à partir d’ombrages, sont aussi des problèmes inverses et ils souffrent des mêmes difficultés.

Il existe, schématiquement, deux grandes communautés scientifiques qui s’intéressent à ces problèmes inverses, d’un point de vue méthodologique :

• celle de la physique mathématique, que l’on peut rattacher aux travaux fondateurs de Phillips, Twomey et Tikhonov dans les années 1960, dont P.C. Sabatier fut un des pionniers en France (avec son action thématique programmée du même nom), et dont une revue représentative est « Inverse problems » ;

• celle du traitement statistique des données, que l’on peut rattacher aux travaux de Franklin à la fin des années 1960, dont les frères Geman ont constitué les accélérateurs en traitement d’image, et dont une revue représentative est « IEEE Transactions on Image Processing ».

On peut dire, grossièrement, que les uns abordent le problème en dimension infinie, avec les questions d’existence, d’unicité et de stabilité qui deviennent très compliquées avec des problèmes directs non linéaires, et le résolvent numériquement en dimension finie ; alors que les autres partent d’un problème dont la discrétisation est déjà faite à la résolution souhaitée, et non remise en cause, et profitent du caractère fini du problème pour introduire une information a priori élaborée au travers de modèles probabilistes.

Nous nous proposons d’indiquer brièvement dans la suite quels sont, de notre point de vue, l’état de l’art et les questions ouvertes dans le domaine de la résolution des problèmes inverses, en accordant une place importante aux approches probabilistes.