Présentation
EnglishAuteur(s)
-
Guy DEMOMENT : Professeur à l’université de Paris-Sud - Laboratoire des signaux et systèmes, Supélec
-
Jérôme IDIER : Chargé de recherche au CNRS - Laboratoire des signaux et systèmes, Supélec
-
Jean-François GIOVANNELLI : Maître de conférences à l’université de Paris-Sud - Laboratoire des signaux et systèmes, Supélec
-
Ali MOHAMMAD-DJAFARI : Directeur de recherche au CNRS - Laboratoire des signaux et systèmes, Supélec
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleINTRODUCTION
Dans de nombreux domaines de la physique appliquée, tels que l’optique, le radar, la thermique, la spectroscopie, la géophysique, l’acoustique, la radioastronomie, le contrôle non destructif, le génie biomédical, l’instrumentation et l’imagerie en général, se pose le problème de la détermination de la distribution spatiale d’une grandeur scalaire ou vectorielle, souvent appelée l’objet, à partir de mesures. Selon les cas, ces mesures de l’objet sont directes – on parle alors d’image – ou indirectes – on parle alors de projection dans le cas de la tomographie, ou de visibilité en astronomie, par exemple. La résolution d’un tel problème d’imagerie peut être habituellement décomposée en trois étapes :
-
un problème direct où, connaissant l’objet et le mécanisme d’observation, on établit une description mathématique des données observées. Ce modèle doit être assez précis pour fournir une description correcte du phénomène physique d’observation, et assez simple cependant pour se prêter à un traitement numérique ultérieur ;
-
un problème d’instrumentation où l’on doit recueillir des données le plus informatives possible afin de résoudre le problème d’imagerie dans les meilleures conditions ;
-
un problème inverse où l’on doit calculer une image acceptable de l’objet à partir du modèle et des données précédents.
Une bonne estimation de l’objet nécessite évidemment que ces trois sous- problèmes soient étudiés de manière coordonnée. Or, la caractéristique commune de ces problèmes de reconstruction ou de restauration d’image est qu’ils sont souvent mal-posés ou mal-conditionnés. Les problèmes de plus haut niveau que l’on rencontre en vision par ordinateur, tels que la segmentation d’image, le traitement du flot optique, la reconstruction de formes à partir d’ombrages, sont aussi des problèmes inverses et ils souffrent des mêmes difficultés.
Il existe, schématiquement, deux grandes communautés scientifiques qui s’intéressent à ces problèmes inverses, d’un point de vue méthodologique :
-
celle de la physique mathématique, que l’on peut rattacher aux travaux fondateurs de Phillips, Twomey et Tikhonov dans les années 1960, dont P.C. Sabatier fut un des pionniers en France (avec son action thématique programmée du même nom), et dont une revue représentative est « Inverse problems » ;
-
celle du traitement statistique des données, que l’on peut rattacher aux travaux de Franklin à la fin des années 1960, dont les frères Geman ont constitué les accélérateurs en traitement d’image, et dont une revue représentative est « IEEE Transactions on Image Processing ».
On peut dire, grossièrement, que les uns abordent le problème en dimension infinie, avec les questions d’existence, d’unicité et de stabilité qui deviennent très compliquées avec des problèmes directs non linéaires, et le résolvent numériquement en dimension finie ; alors que les autres partent d’un problème dont la discrétisation est déjà faite à la résolution souhaitée, et non remise en cause, et profitent du caractère fini du problème pour introduire une information a priori élaborée au travers de modèles probabilistes.
Nous nous proposons d’indiquer brièvement dans la suite quels sont, de notre point de vue, l’état de l’art et les questions ouvertes dans le domaine de la résolution des problèmes inverses, en accordant une place importante aux approches probabilistes.
DOI (Digital Object Identifier)
Cet article fait partie de l’offre
Le traitement du signal et ses applications
(160 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Présentation
4. Approche bayésienne de l’inversion
Il existe au moins deux raisons qui poussent à inscrire la résolution des problèmes inverses dans un cadre bayésien. Tout d’abord, c’est dans ce cadre qu’ont été introduites les fonctions d’énergie locale et les modélisations markoviennes qui ont marqué durablement le traitement d’image à bas niveau. Mais c’est aussi lui qui offre les réponses les plus cohérentes et les plus complètes à des problèmes laissés ouverts dans les autres approches, comme le choix des hyperparamètres ou l’optimisation d’un critère multimodal.
4.1 Inversion et inférence statistique
Pour expliciter le lien qui unit inversion et inférence statistique, il est utile, à ce stade, de résumer l’analyse faite au paragraphe 2. Après discrétisation, le problème direct prend la forme générale A ( x , y ) = 0, où A est un opérateur reliant l’objet inconnu x aux données expérimentales y . Il prend même souvent la forme explicite y = A ( x ), voire linéaire y = Ax . L’inversion, c’est-à-dire le calcul de x connaissant A et y , est très souvent un problème mal-posé, en deux sens.
-
Premièrement, l’opérateur A est souvent singulier dans le sens où il existe une classe d’objets x Î invisibles, c’est-à-dire tels que Ax = 0 (le noyau Ker A =
Cet article fait partie de l’offre
Le traitement du signal et ses applications
(160 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Approche bayésienne de l’inversion
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ANDREWS (H.C.), HUNT (B.R.) - Digital Image Restoration. - Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1977).
-
(2) - HERMAN (G.T.), TUY (H.K.), LANGENBERG (K.J.), SABATIER (P.) - Basic Methods of Tomography and Inverse Problems. - Adam Hilgers, Bristol (1987).
-
(3) - KAK (A.C.), SLANEY (M.) - Principles of Computerized Tomographic Imaging. - IEEE Press, New York (1988).
-
(4) - MARROQUIN (J.L.), MITTER (S.K.), POGGIO (T.A.) - Probabilistic solution of ill-posed problems in computational vision. - J. Amer. Stat. Assoc., 82, 76-89 (1987).
-
(5) - BERTERO (M.), DE MOL (C.), PIKE (E.R.) - Linear inverse problems with discrete data : II. Stability and regularization. - Inverse Problems 4, 3 (1988).
-
(6) - KAY (S.M.), MARPLE (S.L.) - Spectrum analysis – a modern perspective. - Proc. IEEE, 69, 1380-1419 (1981).
- ...
Cet article fait partie de l’offre
Le traitement du signal et ses applications
(160 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive