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Auteur(s)
-
Laurent KOPP : Ingénieur de l’École Polytechnique - Thalès Ultrasonics
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Le traitement des antennes à réseaux de capteurs est abordé ici dans le cadre de la théorie de la décision appliquée aux signaux vectoriels. On y applique la méthodologie introduite dans la première partie Détection et estimation en traitement d’antenne : théorie. Cependant, pour ce faire, un travail préliminaire de modélisation est nécessaire, d’abord pour expliciter les relations entre les paramètres physiques et les mesures, ensuite pour fournir à la théorie des densités de probabilité de l’observation qui soient utilisables dans la pratique (technique d’échantillonnage).
La théorie de la décision n’est pas vraiment indispensable pour introduire les concepts de base du traitement d’antenne (fonction d’ambiguïté et gain d’antenne par exemple) mais cette théorie offre le cadre approprié pour décrire les performances d’une méthode ou pour juger de son optimalité. Sans la théorie de la décision, le traitement d’antenne consisterait à proposer des méthodes d’inversion algébriques qui seraient très peu robustes aux erreurs de calculs, aux bruits additifs et aux erreurs de modélisation.
Malgré tout, ce qui est fait dans cet article ne se réduit pas à un exercice d’application de la théorie de la décision. Le signal vectoriel étudié ici possède la particularité d’avoir été engendré par les capteurs d’une antenne plongée dans un milieu parcouru par des ondes qui se propagent. Cela donne une forme particulière aux résultats obtenus et exige une description qui donne sa spécificité au traitement d’antenne.
En bref, le lecteur surtout intéressé par le traitement d’antenne y retrouvera les principaux résultats classiques du domaine, par exemple l’antenne adaptative ou le goniomètre adaptatif, ainsi que les outils usuels pour le décrire, par exemple la variété d’antenne.
Quant au lecteur plutôt porté sur la théorie de la décision, nous avons essayé de lui montrer les relations intimes existant entre les critères décisionnels et la physique comme, par exemple, la borne de Cramer-Rao et la fonction d’ambiguïté. Le point le plus significatif que nous avons voulu développer est qu’un même problème peut donner lieu à des résultats très différents selon la modélisation que l’on en fait.
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Détection/estimation multisource : goniomètre adaptatif (Music)
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4. Borne de Cramer-Rao et ambiguïté
L’observation est constituée d’une suite de vecteurs gaussiens circulaires centrés, indépendants, de densité de probabilité :
On précise par ailleurs que
(modélisation de la matrice interspectrale).
On supposera aussi que le vecteur source remplit la condition
, où K désigne le nombre de capteurs, ce qui correspond au modèle fréquent où la propagation se réduit à « un retard pur », pour lequel :
• On supposera tout d’abord que N = 1 (une seule observation).
Les paramètres à estimer sont
désigne un vecteur de paramètres géométriques cachés dans
. Il est intéressant de remarquer que les paramètres { σ, γ } d’une part, et
d’autre part, sont découplés :
La matrice de Fisher est donc bloc-diagonale....
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Borne de Cramer-Rao et ambiguïté
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - FOURGEAUD (C.), FUCHS (A.) - Statistique. - Dunod, Paris (1967).
-
(2) - VANTREES (H.L.) - Detection, Estimation and Modulation Theory. - J. Wiley (1968).
-
(3) - LEHMANN (E.L.) - Testing statistical hypotheses. - Chapman et Hall (1982)
-
(4) - MONFORT (A.) - Cours de statistique mathématique. - Economica (1982).
-
(5) - MONFORT (A.) - Statistique. - Cours de l’École Polytechnique (2001).
-
(6) - SERFLING (R.J.) - Approximation Theorems of Mathematical Statistics. - J. Wiley (1980).
-
(7) - EATON (M.L.) - Group Invariance Applications in statistics. - ...
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