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RÉSUMÉ
Le fort développement des réseaux de communication a relancé la théorie très ancienne des files d'attente. Cet article tente une présentation entre théorie et résultats, en fournissant éléments de base, exemples et preuves dans le but d’illustrer la diversité des applications et de permettre la compréhension de la dynamique sous-jacente. Après une présentation des processus ponctuels généraux et des processus de Poisson, est détaillée la structure des processus de sauts markoviens. Les schémas de Matthes y jouent un rôle central, aussi bien dans la modélisation que dans la simulation de tels processus (simulations à événements discrets). Pour terminer, les différentes catégories de files d'attente et réseaux de files d'attente sont exposées.
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Jean LACROIX : Professeur des Universités
INTRODUCTION
La théorie des files d'attente, qui est relativement ancienne, connaît actuellement un regain d'intérêt dû à l'extraordinaire développement des réseaux de communication. Il existe une littérature extensive sur la question et cet exposé tente de trouver une voie médiane entre des ouvrages de nature très théorique ou de simples fascicules de résultats. Devant l'impossibilité de procéder à une étude exhaustive des nombreuses situations pratiques, il semble important de fournir au lecteur les éléments de base qui lui permettront de s'adapter à la diversité des applications, et cela, avec un niveau d'abstraction acceptable. C'est pourquoi nombre de preuves et d'exemples sont fournis, pour lui permettre de bien comprendre la dynamique sous-jacente, en particulier les principes de base du concept d'évolution markovienne. Ces calculs et constructions reposent en grande partie sur des considérations développées dans l'article « Chaînes de Markov » dans cette même base documentaire. Après une présentation des processus ponctuels généraux et des processus de Poisson, on s'intéresse à la structure des processus de sauts markoviens. Les schémas de Matthes y jouent un rôle central, aussi bien dans la modélisation que dans la simulation de tels processus (simulations à événements discrets). Les différentes catégories de files d'attente et réseaux de files d'attente sont présentées dans les deux dernières sections. Le lecteur pourra trouver diverses extensions et de nombreux compléments dans les ouvrages cités en référence.
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Réseaux de files d'attente3. Files d'attente
Une file d'attente est constituée de clients qui arrivent de l'extérieur pour rejoindre cette file. Les clients attendent devant des guichets où ils vont se faire servir par des serveurs. Dans certains cas, les clients attendent dans une salle d'attente de capacité limitée. Un client servi disparaît (contrairement au cas des réseaux de files d'attente que l'on considérera plus loin). Les instants d'arrivée des clients et les temps de service sont aléatoires. Sauf avis contraire, on suppose que le premier arrivé est le premier servi (discipline FIFO : First In First Out). Une file d'attente est décrite par la loi d'interarrivée des clients, la loi des temps de service, le nombre de serveurs, la taille maximale. La taille du système à un instant donné t, soit Xt, est le nombre de clients en train d'être servis ou d'attendre (c'est-à-dire le nombre de clients dans la file plus le nombre de clients en train d'être servis). Nous supposerons toujours ici que les interarrivées sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi, indépendantes des temps de service, eux-mêmes indépendants et de même loi. Pour les files simples, on utilise les notations de Kendall :
loi d'interarrivée / loi de service / nombre de serveurs / taille maximale.
Les lois sont notées symboliquement M lorsqu'elles sont exponentielles (M pour Markov), G (G pour général) sinon. On ne spécifie pas la longueur maximale de la file lorsqu'elle est infinie. Par exemple, une file M / M / s est une file d'attente à s guichets, telle que le flot d'arrivée des clients est poissonien et les temps de service exponentiels, sans restriction sur la taille de la file d'attente. La file M / M / s / s est la même file mais où les nouveaux clients sont rejetés hors du système lorsque tous les serveurs sont occupés. Toutes ces situations entrent dans le cadre des schémas de Matthes.
3.1 Files d'attente markoviennes
Pour les files M / M / 1, M / M / s et M / M / ∞, l'espace des états est
et les sources sont de deux types :
-
une source correspondant au temps d'interarrivée des clients dans le système...
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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Relations entre probabilités et équations aux dérivées partielles
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