Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
Auteur(s)
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José MARTINEZ : Docteur en sciences - Ingénieur de recherche, Transiciel
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Pierre GAJAN : Docteur en sciences - Ingénieur de recherche, Office national d’études et de recherches aérospatiales (ONERA)
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Alain STRZELECKI : Docteur en sciences - Ingénieur de recherche, ONERA
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Lire l’articleINTRODUCTION
L’analyse de Fourier est un outil de base en traitement du signal, indispen-sable dans de nombreux domaines de la recherche, mais elle montre vite des limites justifiées dès lors que l’on sort du cadre rigoureux de sa définition : le domaine des signaux stationnaires d’énergie finie. Dans l’analyse de Fourier, tous les aspects temporels (début, fin, durée d’un événement), bien que présents dans la phase, deviennent illisibles dans le spectre. En particulier, la transformée de Fourier (TF) d’un morceau de musique ne permet pas de retrouver le rythme joué, mais simplement les notes présentes. Le spectre seul ne permet pas de dissocier deux partitions différentes ayant les mêmes notes. Or, on souhaiterait pourtant parfois réaliser à la fois une analyse en temps et en fréquence, pour retrouver la « portée musicale » associée à ces signaux non stationnaires.
L’étude de signaux non stationnaires nécessite donc soit une extension de la TF (ou des méthodes stationnaires), en y introduisant un aspect temporel, soit le développement de méthodes spécifiques.
La première solution, mise en place intuitivement au milieu du siècle, correspond aux analyses de Fourier à fenêtre glissante (FFG) ou Fourier à court terme introduites dès 1945 par D. Gabor [1] avec l’idée d’un plan temps-fréquence où des modulations de fréquences seraient ainsi exprimées, et où le temps deviendrait un paramètre complémentaire de la fréquence. Ces méthodes montrent qu’une localisation exacte conjointe en temps et en fréquence est impossible, et introduisent l’idée d’une base discrète, minimale, traduisant en quelques coefficient la répartition d’énergie du signal dans le plan temps-fréquence ainsi mis en évidence. À ces approches s’est ajoutée la transformée en ondelettes, existant à l’état latent aussi bien en mathématiques qu’en traitement du signal, mais dont le véritable essor a commencé au début des années 1980.
Une deuxième approche possible consiste à considérer la densité d’énergie du signal comme une distribution des deux variables temps et fréquence. Cette décomposition bilinéaire, conjointe, introduite par J. Ville [2], a mis en relief le rôle central de la distribution de Wigner-Ville, puis a débouché sur les classes générales de Cohen affines, englobant les représentations temps-fréquence et précédemment citées [3][4].
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Décompositions linéaires continues
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4. Conclusion
L’outil le plus répandu pour analyser les signaux est la transformée de Fourier. Malheureusement, dans de nombreuses configurations, l’existence de phénomènes intermittants et peu cohérents donne des spectres large bande, difficiles à interpréter. Pour une meilleure analyse, il est nécessaire de suivre l’évolution temporelle de ces phénomènes. L’emploi de méthodes temps-fréquence semble donc tout indiqué.
Depuis les années 1980, l’utilisation de ces méthodes de traitement de l’information a fortement progressé dans différents domaines des mathématiques et de la physique, comme l’atteste le nombre de livres et de recueil d’articles publiés. De nombreux logiciels de traitement sont disponibles sur le marché mais l’interprétation des résultats obtenus n’est pas toujours évidente.
Parmi les techniques existantes et susceptibles de répondre aux problèmes posés, il est possible de répertorier une certaine classe de transformations : les décompositions continues atomiques. Nous avons montré le lien entre ces diverses décompositions (TO, FFG...) qui, interprétées comme une série de filtre passe-bande, s’unissent dans un même cadre intuitif. Une extension naturelle de ces méthodes consiste à sélectionner un filtre donnant la meilleure résolution temps-fréquence locale par rapport au signal analysé. Cela amène à introduire un paramètre supplémentaire d’échelle qui fournit une extension pour les structures discrètes des algorithmes temps-fréquence continus.
On dispose ainsi d’une famille de transformations continues donnant une description qualitative et quantitative de la densité d’énergie des signaux dans le plan temps-fréquence. À ces outils, il est possible d’associer des traitements complémentaires afin de poursuivre l’analyse des signaux :
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extraction des lois continues (modulations de fréquence et d’amplitude) caractérisant les composantes du signal ;
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détermination des temps de corrélation caractéristiques par fréquence (interTO, interFFG, permettant de prolonger la philosophie des transformations atomiques aux fonctions d’intercorrélation) ;
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extraction de structures discrètes, issues des transformées précédentes, par ajout d’un troisième paramètre d’échelle (matching pursuit).
Néanmoins lors de l’utilisation de ces outils,...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GABOR (D.) - Theory of communication. - Journal IEEE, 93,3, 429-457, 1946.
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(2) - VILLE (J.) - Théorie et applications de la notion de signal analytique. - Câbles et transmission, n I-2A, 61-74, 1948.
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(3) - FLANDRIN (P.) - Temps-fréquence. - Hermes, 1993.
-
(4) - COHEN (L.) - Time frequency distributions : A review. - Proceeding of the IEEE, 77, 7, 941-981, juil. 1989.
-
(5) - MORLET (J.) - Sampling theory and wave propagation. - NATO ASI Series, F1, 233-261, Springer-Verlag, Berlin, 1983.
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(6) - CALDERON (A.P.) - Intermediate Spaces and interpolation, the complex method. - Studia Math., 24, 2, 113-190, 1964.
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