Simulation des mécanismes - Résolution des équations dans les logiciels

Nous nous plaçons ici dans une phase en aval de la modélisation consistant à intégrer numériquement les modèles mathématiques précédemment obtenus (cf. dossiers Simulation des mécanismes- Topologie, géométrie, cinématique Simulation des mécanismes- Équations de liaison. Forces de liaison Simulation des mécanismes- Liberté, mobilité et hyperstatisme Simulation des mécanismes- Equations de la dynamique - Exemples). Il existe de nombreuses méthodes d’intégration : Euler, Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, Backward Differentiation Formula, Gear, pour ne citer que les plus connues. Certainement le problème le plus crucial lié à la simulation des mécanismes est celui de la résolution numérique des systèmes d’équations algébro-différentielles (DAE). Dans ce cas, la simulation peut être entreprise au prix d'une « reformulation mathématique » du problème. C’est ainsi que peuvent être utilisées des techniques telles que la partition de coordonnées, la méthode de projection, la stabilisation de Baumgarte ou la méthode des pénalités. En outre, la transformation de certaines méthodes numériques (de leur forme explicite en leur forme implicite, à ne pas confondre avec les formes explicites et implicites données au modèle dans Simulation des mécanismes- Equations de la dynamique - Exemples), permet aussi d’effectuer la simulation de systèmes algébro-différentiels (méthode Runge-Kutta Implicite -IRK- par exemple).

Dans toute cette partie, nous supposons que le mécanisme ne possède pas d’inconnue hyperstatique ou, autrement dit, que la matrice C pour les équations de liaison du premier ordre est de rang plein. Par ailleurs, n représente le nombre de coordonnées généralisées et L le nombre d’équations de liaison, comme dans les parties précédentes.