Article de référence | Réf : AF5054 v1

Traitement numérique d’un système d’équations algébro-différentielles
Simulation des mécanismes - Résolution des équations dans les logiciels

Auteur(s) : Wilfrid MARQUIS-FAVRE

Date de publication : 10 juil. 2007

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RÉSUMÉ

Cet article s’intéresse à la simulation des mécanismes, et plus particulièrement à la résolution des équations dans les logiciels. De nombreuses méthodes d’intégration des modèles mathématiques en aval de la modélisation existent (comme Euler, Runge-Kutta, ou encore Adams-Moulton). C’est pourquoi la forme générale des systèmes d’équations différentielles puis l’intégration numérique sont étudiées dans cet article. Un des principaux problèmes lié à la simulation des mécanismes est la résolution numérique des systèmes d’équations algébro-différentielles. Sont ainsi recensées les différentes méthodes solutions : la partition des coordonnées, la méthode de projection, la stabilisation de Baumgarte, etc.

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ABSTRACT

This article is dedicated to the simulation of mechanisms and more specifically to solving of equations using software. A large number of integration methods of mathematical models upstream of modeling are available (such as the Euler, Runge-Kutta and Adams-Moulton methods). This is the reason why the general framework of differential equation systems and digital integration are studied in this article. The various solution methods are listed: coordinate partitioning, projection method, the Baumgarte stabilization, etc.

Auteur(s)

INTRODUCTION

coordination par Michel Fayet, Professeur émérite des universités à l’INSA de Lyon

Nous nous plaçons ici dans une phase en aval de la modélisation consistant à intégrer numériquement les modèles mathématiques précédemment obtenus (cf. dossiers Simulation des mécanismes- Topologie, géométrie, cinématique Simulation des mécanismes- Équations de liaison. Forces de liaison Simulation des mécanismes- Liberté, mobilité et hyperstatisme Simulation des mécanismes- Equations de la dynamique - Exemples). Il existe de nombreuses méthodes d’intégration : Euler, Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, Backward Differentiation Formula, Gear, pour ne citer que les plus connues. Certainement le problème le plus crucial lié à la simulation des mécanismes est celui de la résolution numérique des systèmes d’équations algébro-différentielles (DAE). Dans ce cas, la simulation peut être entreprise au prix d'une « reformulation mathématique » du problème. C’est ainsi que peuvent être utilisées des techniques telles que la partition de coordonnées, la méthode de projection, la stabilisation de Baumgarte ou la méthode des pénalités. En outre, la transformation de certaines méthodes numériques (de leur forme explicite en leur forme implicite, à ne pas confondre avec les formes explicites et implicites données au modèle dans Simulation des mécanismes- Equations de la dynamique - Exemples), permet aussi d’effectuer la simulation de systèmes algébro-différentiels (méthode Runge-Kutta Implicite -IRK- par exemple).

Dans toute cette partie, nous supposons que le mécanisme ne possède pas d’inconnue hyperstatique ou, autrement dit, que la matrice C pour les équations de liaison du premier ordre est de rang plein. Par ailleurs, n représente le nombre de coordonnées généralisées et L le nombre d’équations de liaison, comme dans les parties précédentes.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af5054


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2. Traitement numérique d’un système d’équations algébro-différentielles

2.1 Caractérisation des systèmes d’équations algébro-différentielles : notion d’index

Sur l’exemple du pendule avec la forme [5] des équations, deux dérivations successives de l’équation de liaison permettent d’obtenir le système canonique du premier ordre. Ce système est toujours algébro-différentiel puisque la dérivée de λ n’est pas présente dans ces équations. En introduisant maintenant dans l’équation de liaison au second ordre les expressions des dérivées , , et , nous obtenons :

En dérivant alors cette équation et en réutilisant les équations différentielles et les équations de liaison aux ordres zéro et un, nous obtenons :

Cette équation est une équation différentielle et, associée aux quatre premières équations, elle forme un système différentiel ordinaire. Nous partons de ce constat pour définir l’index d’un système algébro-différentiel.

  • Définition de l’index d’un système algébro-différentiel

    L’index...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BAUMGARTE (J.) -   Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems.  -  In : Proceedings of the NATO ASI on Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical Systems Dynamics, Iowa city/USA, (1-12 août 1983), p. 1-16 (1984).

  • (2) - GARCÍA DE JALÓN (J.), BAYO (E.) -   Kinematic and dynamic simulation of multibody systems.  -  The real time challenge. New York, Springer Verlag, 440 p (1994).

  • (3) - HAIRER (E.), LUBICH (C.), ROCHE (M.) -   The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods.  -  Université de Genève (Sept. 1988).

  • (4) - HAUG (E.-J.), DEYO (R.-C.) -   Real-time integration methods for mechanical system simulation.  -  Springer Verlag, 356 p (1991).

  • (5) - NIKRAVESH (P.-E.) -   Computer-aided analysis of mechanical systems.  -  New Jersey, Prenctice Hall, Englewood Cliffs, 369 p (1988).

  • (6)...

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