Article de référence | Réf : AF5050 v1

Géométrie et cinématique des systèmes multicorps
Simulation des mécanismes - Topologie, géométrie, cinématique

Auteur(s) : Michel FAYET

Date de publication : 10 juil. 2006

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RÉSUMÉ

Les simulations des mécanismes se font à l’aide de logiciels qui permettent d’accéder aux équations des mouvements et des interactions entre les différents solides d’un système. Les moyens de calcul actuels viennent maintenant à bout des problèmes les plus complexes. Suivant le type de logiciel choisi (ADAMS, DADS, COMPAK…), le type de coordonnées retenues pour décrire le mouvement n’est pas identique, et au final les équations exploitables (de liaison ou de dynamique) ne seront pas les mêmes.

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Auteur(s)

  • Michel FAYET : Professeur émérite des universités - INSA (Lyon)

INTRODUCTION

On connaît sans doute les logiciels tels que ADAMS, DADS, MECHANICA, COMPAM, SYMPACK, etc. Les différents dossiers portant le titre « Simulation des mécanismes » à paraître dans les Techniques de l’Ingénieur sont destinés à en exposer la théorie.

Il s’agit de logiciels qui permettent de connaître le mouvement et les actions entre solides d’un système complexe. Avant l’existence des moyens de calcul puissants d’aujourd’hui, la mise en équations d’un problème comportant un nombre de degrés de liberté, ne serait-ce que supérieur à 5, était un travail extrêmement fastidieux. Quant à sa résolution, même pour des cas très simples, elle se révélait encore plus difficile, voire impossible, et très souvent on se contentait de l’envisager dans le cas très restrictif de petits mouvements autour d’un état de mouvement connu.

Avec le développement de l’informatique, ces questions peuvent maintenant être abordées. Mais il est utile de connaître les écueils qui peuvent se présenter dans l’usage des logiciels du type de ceux qui ont été cités précédemment, différents d’ailleurs, d’un logiciel à l’autre suivant les principes qu’ils mettent en œuvre. C’est l’objectif de ces dossiers. D’autre part, très souvent, une entreprise industrielle souhaite avoir la maîtrise complète de son outil de simulation et en construit elle-même en vue d’une catégorie d’applications bien particulières. Les ingénieurs trouveront-là la plupart des éléments utiles à ce genre de travail. Tous ces éléments font partie d’une spécialité dans le domaine scientifique appelée « théorie des systèmes multicorps ». Les auteurs les plus connus dans ce domaine ont pour noms Haug, Nikravesh, Wittenburg, Schielen, Shabana…

On peut distinguer deux grandes catégories de logiciels de simulation des mécanismes selon le choix qu’ils font du type de coordonnées retenues pour décrire le mouvement.

Les premiers, souvent les plus anciens, mais aussi, pour cette raison notamment, les plus répandus, décrivent la position de chaque solide indéformable par rapport au repère de référence (ou galiléen) par, en général, six coordonnées et chaque liaison donne lieu à un nombre d’équations de liaison ou de contraintes égal à six moins le degré de liberté de la liaison envisagée. Alors, toutes les équations de la dynamique pour chaque solide se présentent sous la même forme. Ce côté systématique, bien adapté à la programmation, a été la raison de l’emploi de cette description au début de la théorie des multicorps. Mais, en contrepartie, la connaissance des équations de la dynamique sous forme littérale ne présente aucun intérêt. ADAMS et DADS font partie de cette catégorie. On ne peut donc pas attendre d’eux qu’ils fournissent des équations qui pourraient aider à la compréhension.

Les seconds définissent les solides par rapport à ceux qui les précèdent dans la chaîne cinématique, par un nombre de grandeurs (abscisses ou angles) égal au degré de liberté de la liaison qui les assemble. Il s’agit d’une démarche plus habituelle au mécanicien de la Mécanique générale. Comme on le verra, le nombre d’équations de liaison est alors plus réduit et ne concerne qu’une liaison par boucle indépendante. Dans ce cas, les équations de la dynamique sont plus intéressantes et peuvent aider à comprendre certains résultats. Ils peuvent être des générateurs d’équations sous forme littérale (ou symbolique). MECHANICA ET SYMPACK font partie de cette deuxième catégorie.

Nota :

Avant d’aborder les développements de ces fascicules, nous conseillons au lecteur de consulter les ouvrages de « Mécanique générale » de J.P. Brossard  parus dans cette base documentaire. Ils pourront lui être utile en bien des occasions. Ajoutons également que les outils dont nous présentons la théorie ne doivent pas être considérés comme la fin de tout raisonnement classique. Tous les modèles simplifiés qui mettent l’accent sur une partie d’un système complexe, et dont l’étude est menée le plus loin sous forme analytique, apportent souvent des renseignements irremplaçables.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af5050


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2. Géométrie et cinématique des systèmes multicorps

2.1 Choix des coordonnées généralisées

Nous avons déjà signalé les deux grandes catégories de paramétrages retenus dans les logiciels de simulation des mécanismes.

Le paramétrage absolu (logiciels ADAMS, DADS…) apparaît comme le plus adapté à l’algorithmie, puisqu’il consiste à décrire l’orientation de chaque solide et à choisir les coordonnées cartésiennes d’un point qui lui est lié. Pour l’utilisation qu’on veut en faire en dynamique, il n’y a pas de façon plus simple et plus systématique d’opérer. Les quantités d’accélération ont alors une forme immuable. Mais alors toutes les liaisons donnent lieu à un nombre d’équations de liaison égal à 6 moins son degré de liberté.

Nous avons déjà dit que les équations de la dynamique toutes identiques, dont nous examinerons la formation, n’ont pas d’intérêt à être connues. Et, par ailleurs, le nombre d’équations de liaison très important, que ce paramétrage nécessite, rend le problème du montage virtuel d’un système, dans une position initiale, assez difficile à résoudre.

Le paramétrage relatif (logiciel MECHANICA, SYMPACK…) consiste à ne décrire que les degrés de liberté entre solides, comme c’est plus communément le cas lorsqu’on traite classiquement un problème de mécanique générale. Dans cette hypothèse, les calculs de cinétique (obtention des quantités d’accélérations généralisées) risquent de conduire à des expressions extrêmement compliquées. Mais, grâce à quelques précautions qui ont été proposées dans les années 1970 à 1990, on parvient à leur donner des formes raisonnables. Et, surtout, ce paramétrage réduit très fortement la dimension du problème (nombre de coordonnées généralisées et de multiplicateurs).

HAUT DE PAGE

2.2 Paramétrage absolu

Le choix des coordonnées absolues qui décrivent la position d’un solide ne pose aucun problème concernant le repérage d’un point qui lui est lié. On utilise ses trois coordonnées cartésiennes. Mais, concernant son orientation,...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BERGE (C.) -   Graphes et hypergraphes.  -  Paris, Dunod, 502 p. (1970).

  • (2) - BROSSARD (J.P.) -   Mécanique Générale.  -  Techniques de l’Ingénieur à – Base documentaire « Physique-chimie » (1995 à 1997).

  • (3) - DENAVIT (J.), HARTENBERG (R.S.) -   A kinematic notation for lower-pairs mechanisms based on matrices.  -  J. of Ap. Mechanics, p. 215-221 (1955).

  • (4) - FAYET (M.), BROSSARD (J.P.) -   On the designation of joints.  -  Mech. and Mach. Th., p. 527-548 (1999).

  • (5) - NIKRAVECH (P.E.) -   Computer-aided analysis of mechanical systems.  -  New Jersey, Prentice Hall, 369 p. (1988).

  • (6) - NIKRAVECH (P.E.), CHUNG (I.S.) -   Application of Euler parameters to the dynamic analysis of three dimensional constrained mechanical systems.  -  ASME, J. of Mech....

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