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RÉSUMÉ
On rappelle les définitions d’une fonction f(A) d’une matrice carrée à coefficients réels ou complexes. On présente ensuite des méthodes numériques permettant de calculer les éléments de f(A), l’action sur un vecteur donné f(A)v ou des formes bilinéaires utf(A)v où interviennent deux vecteurs.
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Gérard MEURANT : Ancien directeur de recherche au CEA
INTRODUCTION
Cet article est consacré au calcul de fonctions de matrices. Avant de définir ce qu’elles sont, expliquons brièvement ce qu’elles ne sont pas. Supposons que l’on ait une fonction f suffisamment régulière et une matrice carrée A d’ordre n à coefficients a i,j , réels ou complexes. La matrice f (A) d’ordre n n’est pas la matrice dont les éléments sont f (a i,j ), auquel cas le calcul serait trivial. Les définitions de f (A) rappelées ci-dessous visent à reproduire, pour une matrice, la plupart des propriétés des fonctions scalaires. Dans une première partie, on présentera les définitions et les principales méthodes de calcul de tous les éléments de f (A). Cette partie est inspirée du livre qui contient l’état de l’art concernant le calcul de f (A), encore que certaines des méthodes décrites aient été légèrement améliorées depuis la parution de ce livre. On pourra également consulter avec profit.
Les algorithmes pour f (A) visent à calculer les n 2 éléments de la matrice. On utilise souvent des méthodes basées sur des factorisations de la matrice A à l’aide de transformations orthogonales et/ou des approximations de la fonction f permettant un calcul plus facile, par exemple des polynômes ou des fractions rationnelles. Les algorithmes correspondants ont donc un coût proportionnel à n 3 . Il n’est donc pas faisable, même avec les ordinateurs puissants dont on dispose aujourd’hui, de calculer f (A) pour des matrices de très grande taille. Il se trouve que de nombreuses applications n’ont besoin que de calculer f (A)v où v est un vecteur donné. Ceci peut être fait, sans calculer explicitement tous les éléments de f (A), à l’aide de méthodes itératives de Krylov qui peuvent s’appliquer à de très grandes matrices creuses et que nous décrirons dans une deuxième partie.
Enfin, il existe d’autres applications pour lesquelles on n’a besoin que de calculer des scalaires uT f (A)v, u et v étant des vecteurs donnés. Les méthodes pour calculer efficacement des bornes ou des approximations de ces quantités seront présentées dans une troisième et dernière partie.
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Méthodes pour f (A)v
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2. Méthodes de calcul de f (A)
Il existe de nombreuses méthodes de calcul pour les fonctions de matrices. Certaines sont générales et d'autres destinées à des fonctions particulières. Les méthodes les plus générales utilisent des approximations de la fonction f et/ou des factorisations de la matrice A.
Notons qu'une fonction de matrice d'une matrice réelle n'est pas toujours réelle. Cependant, si faire se peut, on veut éviter d'utiliser l'arithmétique complexe si A est réelle.
La plupart des algorithmes décrits ci-dessous visent à obtenir une bonne précision du résultat avec un coût le plus faible possible.
2.1 Méthodes d'approximation
Si on connaît un développement de Taylor de f au voisinage de a,
on a :
Il faut, bien entendu, que l'on ait
où R est le rayon de convergence de la série de f. Pour calculer f (A) on peut tronquer le développement...
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Méthodes de calcul de f (A)
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AFANASJEW (M.), EIERMANN (M.), ERNST (O.G.), GÜTTEL (S.) - Implementation of a restarted Krylov subspace method for the evaluation of matrix functions - Linear Algebra Appl., vol. 429, p. 2293-2314 (2008).
-
(2) - AL-MOHY (A.H.), HIGHAM (N.J.) - A new scaling and squaring algorithm for the matrix exponential - SIAM J. Matrix Anal. Appl., vol. 31 n° 3, p. 970-989 (2009).
-
(3) - AL-MOHY (A.H.), HIGHAM (N.J.) - Computing the action of the matrix exponential with an application to exponential integrators - SIAM J. Sci. Comput., vol. 33 n° 2, p. 488-511 (2011).
-
(4) - AL-MOHY (A.H.), HIGHAM (N.J.) - Improved inverse scaling and squaring algorithms for the matrix logarithm - SIAM J. Sci. Comput., vol. 34 n° 4, p. C153-C169 (2012).
-
(5) - BREZINSKI (C.), VAN ISEGHEM (J.) - Padé approximations - in « Handbook of Numerical Analysis », vol. III, P.G. Ciarlet and J.L. Lions eds., North-Holland, Amsterdam, p. 47-222 (1994).
- ...
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Boîte à outils mmq_toolbox pour Matlab :
http://gerard.meurant.pagesperso-orange.fr/
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