Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
La stéréologie traite de l'estimation quantitative des informations géométriques dans les espaces euclidiens de dimension n supérieure ou égale à 1 à partir d'échantillons spatiaux de dimensions strictement inférieures à n, obtenus à partir de sections, par intersections ou/et par projections. Cet article présente une synthèse des notions de base de la stéréologie, principalement en dimension n = 2 ou 3. Il présente d’abord la méthodologie, le vocabulaire, et les deux approches duales de la stéréologie, puis les trois principaux types d’objets. Les fonctionnelles stéréologiques et les principales formules les reliant sont ensuite exposées. Des éléments d’échantillonnage spatial et d’estimation statistique sont fournis, et les méthodes de dénombrement sont présentées en détail.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - À Andrée-Aimée Toucas pour son support bibliographique. - Au Professeur Gérard Thomas pour son intérêt scientifique.
INTRODUCTION
La littérature scientifique et technologique sur la Stéréologie est assez importante, mais est relativement inaccessible pour trois raisons principales : elle est dispersée dans de nombreuses revues et plusieurs ouvrages relevant de disciplines variées, les aspects mathématiques sont partiellement traités avec des notations souvent inhabituelles et des concepts insuffisamment, voire pas expliqués , et le vocabulaire n’est généralement pas suffisamment précis et explicite.
En conséquence, cet article résulte d’un effort rédactionnel et notationnel important facilitant la compréhension, mais rendant certaines phrases assez « chargées ».
Il est conseillé au lecteur de prendre connaissance préliminairement de l’article AF216 portant sur la géométrie stochastique.
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MOTS-CLÉS
échantillonnage statistique spatial fonctionnelles stéréologiques fractions spatiales méthodes de dénombrement formules stéréologiques
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Champs de corps par sections infinitésimales I
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5. Fonctionnelles
Une fonctionnelle (functional), notée génériquement F, est une application définie sur une classe de sous-ensembles de l’espace euclidien
(e.g. la classe des sous-ensembles compacts pour la topologie euclidienne) et à valeurs dans
.
5.1 Fonctionnelles géométriques
Une fonctionnelle géométrique (geometric functional), notée génériquement F, est une fonctionnelle à valeurs dans
(généralement dans
, i.e. à valeurs positives). Elle représente une quantité de nature géométrique. Elle est invariante par mouvement rigide (combinaison d’une translation et d’une rotation) (rigid motion).
Les principales fonctionnelles géométriques utilisées en dimension
sont : le volume V, l’aire surfacique S, l’aire planaire A, la longueur L et le nombre N. D’autres fonctionnelles existent : courbures, diamètres… (voir plus bas et le glossaire des notations in fine).
5.2 Fonctionnelles topologiques
Une fonctionnelle topologique (topological functional) est une fonctionnelle invariante par homéomorphisme (p. 8 de ...
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