Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article est une introduction à la géométrie algébrique et à certaines de ses applications. Des rappels d'algèbre commutative (groupes, anneaux, idéaux, corps des réels et des complexes) constituent une introduction. Est abordée d'abord l'étude des racines de polynômes à une variable, résultant, discriminant, suites de Sturm et algorithmes d'isolation des racines réelles. Géométrie algébrique dans le plan affine, dans le plan projectif (cas réel et complexe), point singuliers surfaces de Riemann et théorème de Harnack sont ensuite traités. Pour finir, le principe de quelques algorithmes d'élimination (intersection de deux courbes planes réelles, passage d'une représentation paramétrique à une équation intrinsèque) est donné.
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This article is an introduction to algebraic geometry and some of its applications. Reminders of commutative algebra (groups, rings, ideals, ring fields of real and complex numbers) serve as an introduction. This article commences with the study of the roots of one variable polynomials, resultant, discriminant, Sturm sequences and real root isolation algorithms. Algebraic geometry in the affine and the projective plane (real and complex cases), singular points, Riemann surfaces and Harnack theorem are then dealt with. To conclude, the principle of certain elimination algorithms (intersection of two real plane curves, determination of the intrinsic equation of a parametric plane curve) is provided.
Auteur(s)
-
Jean-Jacques RISLER : Professeur émerite - Université Pierre et Marie Curie
INTRODUCTION
Soit
un corps fixé (dans cet article, le corps
des nombres rationnels, le corps
des nombres réels ou le corps
des nombres complexes).
On considère un système d'équations Pi (X1,..., Xn) = 0 où les Pi sont des polynômes à coefficients dans
et où les variables prennent leurs valeurs dans
(ou un corps contenant
). Typiquement, les équations seront à coefficients entiers, et on considérera les solutions du système dans
ou
Un tel système définit un sous-ensemble
appelé variété algébrique, et la géométrie algébrique consiste a comprendre les propriétés « géométriques » de X en utilisant les propriétés « algébriques » du système d'équations. Un exemple historique fondamental est l'étude des trajectoires des planètes et comètes qui sont en première approximation des courbes planes du second degré (i.e. des coniques : ellipses, paraboles ou hyperboles).
Bien que l'on s'intéresse en pratique (comme dans l'exemple ci-dessus) au cas réel, on constate que le rapport cherché entre algèbre et géométrie est beaucoup plus satisfaisant dans le cas du corps des nombres complexes (fondamentalement parce qu'un polynôme à une variable de degré n à coefficients réels ou complexes a exactement n racines complexes « distinctes ou confondues », alors que s'il est à coefficients réels (par exemple entiers), le nombre de ses racines réelles (distinctes ou confondues) peut être n'importe quel nombre entre 0 et n de même parité que n.
Les applications « pratiques » de la géométrie algébrique sont essentiellement de deux sortes :
1) la détermination (ou l'étude qualitative) des solutions de systèmes d'équations polynomiales à coefficients entiers ou rationnels ;
2) les propriétés des solutions de systèmes d'équations à coefficients dans un corps fini, souvent le corps a deux éléments
Nous n'évoquerons pas ici le second cas, qui relève de l'informatique théorique, qui s'applique à la cryptographie ou à la théorie des codes correcteurs.
Le premier cas contient tous les problèmes de modélisation dans lesquels on a besoin de connaître des propriétés des solutions réelles de systèmes polynomiaux à coefficients disons rationnels.
Citons par exemple le problème du « déménageur de pianos » : on doit déplacer un « piano » dans un environnement contraint du plan ou de l'espace.
Le piano et l'environnement sont modélisés comme des ensembles semi-algébriques (donc solutions d'équations et d'inéquations polynomiales).
L'avantage de ces méthodes algébriques est que l'on peut, du moins en théorie, apporter des réponses exactes et sûres aux questions posées (par exemple le « piano » peut-il éviter les obstacles pour arriver dans un endroit voulu, et si oui quel déplacement doit-il effectuer ?). Leur défaut est que les algorithmes ont très vite une complexité rédhibitoire, inhérente à la nature des problèmes : il faut « payer très cher » pour avoir des certitudes, alors que des réponses simplement approximatives seraient beaucoup moins coûteuses et en général tout aussi efficaces.
Cet article a ainsi deux objectifs :
-
exposer quelques notions fondamentales de géométrie algébrique, essentiellement dans le cas le plus simple des sous-ensembles algébriques du plan ;
-
décrire quelque méthodes algorithmiques permettant de résoudre des questions a priori très simples de géométrie algébrique (comme par exemple soit
un polynôme donné. Combien a-t-il de racines réelles ? Où sont-elles « approximativement » placées ?).
Le contenu de cet article est le suivant. La section 1 expose des propriétés algébriques fondamentales de l'anneau des polynômes à une variable sur un corps
, et expose les algorithmes fondamentaux permettant « d'isoler » les racines réelles d'un polynôme
La section 2 expose les définitions et les propriétés de base des courbes algébriques dans le plan affine
La section 3 introduit les « points à l'infini » en définissant le plan projectif. Quelques résultats de base sont évoqués (en particulier le « théorème de Bézout » sur le corps
). Cette section se termine sur la définition des « surfaces de Riemann », quelques remarques sur la topologie des courbes réelles projectives planes et des considérations algorithmiques liées aux courbes algébriques réelles.
Pour un lecteur voulant aller plus loin dans la géométrie algébrique, le livre est fortement conseillé, ainsi que pour le cas réel. Le livre contenant tous les résultats algorithmiques importants est .
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MOTS-CLÉS
racines réelles résultant suites de Sturm courbes algébriques planes plan projectif théorème de Harnack surfaces de Riemann
KEYWORDS
real roots | resultant | Sturm sequences | algebraic plane curves | projective plane | Harnack's theorem | Riemann surfaces
DOI (Digital Object Identifier)
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Un peu d'algèbre
En anglais
4. Élimination
Si l'on se donne un polynôme
et que l'on considère la courbe algébrique C d'équation f (x,y) = 0, il est assez facile de déduire des propriétés géométriques de la courbe (ou de sa clôture projective
) : par exemple, décider si C est lisse, trouver le genre de
, etc. En revanche, il est relativement difficile de tracer la courbe C (même approximativement). Si maintenant on se donne un courbe Γ sous forme paramétrique :
( 16 )
où P, Q, R et S sont des éléments de
, il est « facile » de tracer Γ : pour toute valeur t0 du paramètre t, on évalue P (t0), Q (t0), R (t0) et S (t0), et on trouve un point (x0, y0) ∈ Γ (en supposant R (0)S (t0) ≠ 0).
4.1 Courbes rationnelles
Soient (x, y, z) des coordonnées homogènes sur
Définition 20. Une courbe
est dite rationnelle de degré d si elle peut être définie par une représentation...
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Élimination
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BENNEDETTI (R.), RISLER (J.-J.) - Real algebraic and semi-algebraic sets - Hermann (1990).
-
(2) - BASU (S.), POLLACK (R.), ROY (M.-F.) - Basic algorithms in real Algebraic Geometry - Springer (2003).
-
(3) - BOYER (P.), RISLER (J.-J.) - Algèbre pour la licence 3 - Dunod (2006).
-
(4) - RISLER (J.-J.) - Méthodes Mathématiques pour la CAO - Masson, collection RMA, 18 (1991).
-
(5) - SAMUEL (P.) - Géométrie projective - PUF (1986).
-
(6) - SHAFAREVICH (I.R.) - Basic Algebraic Geometry - Springer Verlag (1977).
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