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RÉSUMÉ
Introduit en 1967 par B. Mandelbrot, l'adjectif fractal qualifie une géométrie portant sur des objets fractionnaires présentant des irrégularités et des détails à toutes les échelles spatiales, avec de plus une auto-similarité. La distinction entre géométrie fractionnaire et fractale est posée en introduction. L'article poursuit par des rappels de théorie des ensembles. Il définit ensuite les espaces topologiques et métriques, ainsi que leurs propriétés, puis l'ensemble des concepts utilisés dans l'étude de cette branche de la géométrie.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint Étienne, France
INTRODUCTION
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Géométrie fractionnaire et géométrie fractale
La géométrie fractionnaire (Fractional Geometry) est une branche de la géométrie qui traite des objets géométriques dits fractionnaires, principalement en pratique dans les espaces euclidiens n-dimensionnels, mais le cadre général pertinent est celui des espaces métriques complets séparables. L’adjectif fractionnaire apparût en géométrie dans les travaux d’A. Besicovitch (années 1930), bien qu’il fut introduit en analyse dès le XVIIe siècle par G. Leibniz pour qualifier certains exposants de fonctions.
Le concept de dimension joue un rôle clef en géométrie fractionnaire, avec notamment la dimension de Hausdorff et Besicovitch introduite par F. Hausdorff (1919), puis étudiée en détail par A. Besicovitch (1929, 1934, 1935, 1937). La théorie de la dimension (Dimension Theory) est une branche de la topologie générale (General Topology) [AF97] [AF98], investiguée rigoureusement pour la première fois par K. Menger (1928). L’étude géométrique des dimensions fractionnaires a été initiée par J. Marstrand (1954).
Nota : Le terme fraction, apparu en français à la fin du XIIe siècle, est un dérivé du bas latin fractio - « action de briser ».
La géométrie fractale (Fractal Geometry) porte sur les objets géométriques fractals, c’est-à-dire les objets fractionnaires qui possèdent une structure spatiale qui suit une règle déterministe ou probabiliste impliquant une auto-similarité interne. L’adjectif fractal a été introduit par B. Mandelbrot en 1967 , qui fut à l’origine d’une large vulgarisation du concept de fractalité , provoquant un fort engouement, mais aussi de sévères critiques Krantz (1989). Contrairement aux objets classiques de la géométrie standard dans les espaces euclidiens, dont les structures spatiales deviennent de plus en plus « lisses » au fur et à mesure qu’elles sont investiguées à petite échelle spatiale, les objets fractionnaires présentent des irrégularités et des détails à toutes les échelles spatiales. Un objet fractal présente de plus une auto-similarité, c’est-à-dire un agencement spatial tel que chaque partie de l’objet ressemble « plus ou moins » à l’objet lui-même ou à une de ses parties .
La théorie des ensembles auto-similaires (self-similar sets) est principalement due à P. Moran (1946) et J. Hutchinson (1981) (p. 29 de et § 6.3 de .
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Branches concernées des mathématiques
La géométrie fractionnaire (Fractional Geometry) est une branche de la géométrie associée à la topologie générale (General Topology) [AF97] [AF98] et à la théorie de la mesure géométrique (Geometric Measure Theory) [AF213]. Elle recourt aussi à la topologie géométrique (Geometric Topology) , qui porte sur l’étude des variétés topologiques (topological manifolds), variétés plus générales que les variétés différentiables traitées en géométrie différentielle (Différential Geometry) , notamment des courbes et des surfaces (continues, mais pas nécessairement différentiables), et des applications entre elles, en particulier les plongements d’une variété topologique dans une autre, avec notamment la théorie des nœuds (Knot Theory) et la théorie des tresses (Braid Theory) comme sous-branches.
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Fonctions et courbes irrégulières
Au début du XIXe siècle, la plupart des mathématiciens croyaient que les fonctions continues possédaient des dérivées en un nombre « significatif » de points (Ampère, 1806). En 1872, K. Weierstrass présenta un exposé oral devant l’Académie des sciences de Berlin dans lequel il décrivit une fonction continue partout, mais différentiable nulle part (du Bois-Reymond, 1875), semble-t-il introduite dès 1861 par B. Riemann .
Ce fut chronologiquement la première fonction de ce type publiée, bien que l’exemple le plus ancien actuellement connu soit celui de la fonction de B. Bolzano (vers 1830, publiée en 1922 par M. Jašek) suivi de la fonction de C. Cellérier (vers 1860, publiée en 1890) .
Puis ce fut au tour des courbes irrégulières d’êtres découvertes par Péano (1890), Hilbert (1891), Sierpińsky (1912)…
Ces fonctions irrégulières et ces courbes irrégulières furent qualifiées de « monstrueuses » par H. Poincaré (1899). Considérées comme pathologiques (i.e. ayant un comportement atypique « mauvais » ou contre-intuitif) à l’époque, ce n’est désormais plus ainsi avec l’arrivée à maturité des géométries fractionnaire et fractale, comme ce fut le cas pour les géométries non euclidiennes au XVIIIe siècle.
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Applications pratiques
Les applications sont nombreuses et variées. Elles portent sur la plupart des champs disciplinaires scientifiques et technologiques (cf. § 24).
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Relations entre les dimensions dans…
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9. Dimension dans l’espace euclidien…
Ci-dessus : Dimension dans l’espace euclidien
9.1 Dimension de Hausdorff et Besicovitch
Suite à une construction de C. Carathéodory (1914), F. Hausdorff proposa (1919) une généralisation de la notion de dimension prenant des valeurs non entières, qui fut ensuite largement étudiée par A. Besicovitch entre 1929 et 1937.
Définition (dimension de Hausdorff, 1919, et Besicovitch, 1929, 1934, 1935). La dimension de Hausdorff et Besicovitch d’un sous-ensemble non nulle X de
est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l’infini, noté
, défini par (p. 149 de ) :
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