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RÉSUMÉ
Cet article présente d'abord les espaces fonctionnels non normables utilisés dans la théorie des distributions. Puis il s'intéresse à la transformation de Fourier, qui permet de résoudre de nombreuses problématiques d'équations aux dérivées partielles. Enfin il explique comment l'analyse de Fourier permet d'établir les théorèmes limites du calcul des probabilités en faisant apparaître le rôle central des variables gaussiennes.
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Gilles GODEFROY : Directeur de recherches au Centre national de la recherche scientifique
INTRODUCTION
Les opérateurs de dérivation ne se représentent pas de façon naturelle comme opérateurs continus sur des espaces normés. Le bon cadre pour le calcul différentiel est fourni par la théorie des distributions, qui impose l’utilisation d’espaces non normables mais permet de donner un sens à la « dérivée » de fonctions très générales.
La transformation de Fourier déploie toute sa puissance dans ce cadre élargi et permet de résoudre effectivement de nombreuses équations aux dérivées partielles, en donnant l’existence et la forme générale des solutions.
C’est encore l’analyse de Fourier qui procure le bon outil pour établir les théorèmes limites du calcul des probabilités, et faire apparaître le rôle central des variables gaussiennes aux interfaces entre le calcul sur les sphères de grande dimension, la distribution des grandeurs physiques ou biologiques et l’incertitude des mesures.
Pour aborder sans difficultés cette deuxième partie de l’analyse fonctionnelle, le lecteur consultera, dans ce traité :
-
- Topologie et mesure ;
-
- Analyse fonctionnelle. Partie 1.
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Calcul des probabilités
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2. Transformation de Fourier
Nous avons déjà rencontré (cf. article [AF 100, § 2]) certains aspects de l’analyse de Fourier. Nous allons aborder dans ce paragraphe quelques applications des méthodes de Fourier à la résolution d’équations aux dérivées partielles. Rappelons d’ailleurs que J.B. Fourier a été amené à considérer les séries qui portent son nom en cherchant (dans son mémoire de 1807) à résoudre l’« équation de la chaleur ».
Nous aurons besoin des notations suivantes.
Notations
-
La mesure de Lebesgue normalisée
est définie par :
-
Pour tout t = (t 1 , t 2 , …, t n ) ∊
, la fonction e t :
est définie par :
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