Calcul des probabilités
Analyse fonctionnelle - Partie 2

3.1 Espaces de probabilité et variables aléatoires

Il est le plus souvent impossible d’effectuer une mesure, une vérification ou une expérience exhaustive sur la totalité d’une collection d’objets (ou de personnes), et cela conduit à sélectionner des échantillons significatifs sur lesquels on travaille. Cette démarche naturelle pose immédiatement deux problèmes : comment obtenir l’échantillon ? De quelle taille doit-il être pour être en effet significatif ?

Pour éliminer si possible un choix arbitraire de l’expérimentateur, il convient de choisir les éléments de l’échantillon « au hasard ». Quant à la taille, elle doit permettre d’obtenir un résultat qui est « probablement » juste, à une « petite erreur » près.

Pour remplacer les expressions entre guillemets ci-dessus par des notions précises et des données quantitatives, nous avons besoin d’une modélisation mathématique. Celle-ci est fournie par la théorie des probabilités, développée par les écoles française (autour d’E. Borel et P. Lévy) et russe (présidée par A. Kolmogorov) au XX^e siècle, après une « préhistoire » où brillent en particulier les noms de Pascal, de Laplace et de Gauss.

Nous allons voir que cette modélisation utilise largement les outils de l’analyse fonctionnelle. Les problèmes concrets qui motivent la théorie concernent bien sûr des ensembles finis ; mais il est souvent plus facile et plus efficace de « passer à la limite » et de remplacer le fini très grand par l’infini. On est alors amené à travailler dans les espaces de Banach L_p ( ${ℝ}^n$ ), introduits dans l’article [AF 99, § 5], et en particulier dans l’espace de Hilbert L₂ ( ${ℝ}^n$