Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
Auteur(s)
-
Michel CESSENAT : Ingénieur des Arts et Manufactures - Docteur en Mathématiques Statistiques et Physique Mathématique
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Lire l’articleINTRODUCTION
Tous les termes mathématiques utilisés dans cet article sont définis dans les articles Analyse fonctionnelle [A 101], Analyse complexe et Analyse harmonique, distributions, convolution dans le traité Sciences fondamentales.
Pour aider le lecteur nous avons souvent rappelé brièvement le sens du terme utilisé par une explication entre parenthèses, à la suite de ce terme. Le sujet des transformations fonctionnelles étant extrêmement vaste, nous avons dû choisir de n’exposer que quelques unes d’entre elles – les plus couramment utilisées – et de donner un nombre très restreint d’applications, sans exposer les problèmes physiques et leur modélisation – nous renvoyons pour cela aux références bibliographiques indiquées et notamment à .
Notre but est ici de présenter rapidement des outils efficaces pour résoudre de façon systématique de très nombreux problèmes d’origines très différentes, et notamment des problèmes d’équations aux dérivées partielles dans des cadres fonctionnels naturels pour la modélisation du problème physique posé.
Cet article a naturellement des recouvrements partiels avec les articles Analyse harmonique, distributions, convolution , Fonctions hypergéométriques. Fonctions de Bessel et Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques .
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Transformations pour les méthodes numériques
En anglais
2. Développement en séries de Fourier
2.1 Présentation. Développement des fonctions de L2
La méthode de développement en séries de Fourier, déjà assez ancienne, est utilisée dans de nombreux problèmes qui font intervenir naturellement une périodicité (problèmes relatifs à des cristaux, à des réseaux), on peut aussi faire apparaître une périodicité en angles, par passage en coordonnées polaires. On peut aussi transformer un problème dans un domaine parallélépipédique Ω, en le rendant périodique, pour utiliser précisément les développements en séries de Fourier.
Soit
le cercle unité du plan complexe
; cet ensemble s’identifie à l’ensemble quotient
(ie les réels modulo 2 π) ou encore à l’intervalle [0,2 π ] où 0 et 2 π sont identifiés, grâce à l’application périodique :
Cette application permet ainsi d’identifier toute fonction f sur
périodique de période 2 π (on dit 2 π-périodique) à une fonction F sur
par la formule :
( 4 )
Inversement, toute fonction F sur
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Développement en séries de Fourier
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - DAUTRAY (R.), LIONS (J.L.) - Analyse mathématique et calcul numérique pour les Sciences et les Techniques. - Masson.
-
(2) - CANUTO (C.), HUSSAINI (M.Y.), QUARTERONI (A.), ZANG (T.A.) - Spectral Methods in Fluid Dynamics. - Springer Verlag (1988).
-
(3) - MERCIER (B.) - An Introduction to the Numerical Analysis of Spectral Methods. - Springer Verlag (1988).
-
(4) - LAX (P.D.), PHILLIPS (R.S.) - Scattering Theory. - Academic Press (1967).
-
(5) - GELFAND (J.M.), GRAEV (M.I.), VILENKIN (N.Ja.) - Les distributions. - Tome 5, Dunod (1970).
-
(6) - HELGASON (S.) - The Radon transform. - Birkhauser, Boston (1980).
-
...
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