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Auteur(s)
-
Sylvie MÉLÉARD : Université Paris-10, MODALX - Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires
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Lire l’articleINTRODUCTION
La théorie de l’intégration peut être abordée naturellement sous deux angles très différents. La première approche est une présentation fonctionnelle, qui définit tout d’abord les mesures comme éléments du dual des fonctions continues à support compact. Il s’agit ensuite de prolonger cette notion à la classe plus grande des fonctions intégrables. La deuxième approche, qui est celle que nous présenterons succinctement dans cet article, s’appuie directement sur la notion de mesure positive. C’est cette approche qui permet l’introduction naturelle des probabilités, comme mesures positives de masse 1.
Il est donc important de connaître les fondements de la théorie de la mesure, tribus, fonctions mesurables, mesures positives, pour comprendre ensuite le modèle probabiliste. On verra également que la mesure de Lebesgue n’est qu’un cas particulier de mesure positive. La théorie de l’intégration consiste principalement à construire l’intégrale de Lebesgue. Elle s’appuie sur quelques théorèmes fondamentaux (Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue), la notion de mesure produit et le théorème de Fubini.
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Mesure image et changement de variables
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4. Mesures définies par des densités
Soit
un espace mesuré. Pour toute fonction f mesurable positive, ou réelle ou complexe intégrable et tout
, on note :
Définition. Si f est une fonction mesurable positive, la fonction d’ensemble définie sur
par
définit une mesure positive sur
, appelée mesure de densité f par rapport à m. On note souvent cette mesure par f.m.
Les règles de calcul des intégrables par rapport à la mesure f.m résultent entièrement du résultat suivant. Notons par
cette mesure. Pour toute fonction g mesurable positive, on a :
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