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Auteur(s)
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Sylvie MÉLÉARD : Université Paris-10, MODALX - Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires
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La théorie de l’intégration peut être abordée naturellement sous deux angles très différents. La première approche est une présentation fonctionnelle, qui définit tout d’abord les mesures comme éléments du dual des fonctions continues à support compact. Il s’agit ensuite de prolonger cette notion à la classe plus grande des fonctions intégrables. La deuxième approche, qui est celle que nous présenterons succinctement dans cet article, s’appuie directement sur la notion de mesure positive. C’est cette approche qui permet l’introduction naturelle des probabilités, comme mesures positives de masse 1.
Il est donc important de connaître les fondements de la théorie de la mesure, tribus, fonctions mesurables, mesures positives, pour comprendre ensuite le modèle probabiliste. On verra également que la mesure de Lebesgue n’est qu’un cas particulier de mesure positive. La théorie de l’intégration consiste principalement à construire l’intégrale de Lebesgue. Elle s’appuie sur quelques théorèmes fondamentaux (Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue), la notion de mesure produit et le théorème de Fubini.
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Présentation
Mesures définies par des densités
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3. Intégrale
Soit
un espace mesuré, la mesure m étant une mesure
-finie.
3.1 Ensembles et fonctions négligeables, propriétés vraies presque partout
Définition. Une partie de E est dite m-négligeable ou négligeable pour la mesure m si elle est incluse dans une ensemble
avec
. Une fonction définie sur E est dite négligeable si elle est nulle en dehors d’un ensemble négligeable.
Définition. Une propriété sur les points de E est dite vraie m-presque partout (en abrégé m-p.p.) si elle est vraie pour tous les points de E excepté ceux d’un ensemble m-négligeable.
Une suite
de fonctions réelles est dite converger m-p.p. vers une fonction f si le complémentaire de l’ensemble
...
