Intégrale de Lebesgue
Intégration

L’intégrale a été naturellement introduite en mathématiques pour calculer des longueurs, des aires ou des volumes, en d’autres termes pour mesurer.

Par exemple, pour calculer la distance parcourue par un mobile sur sa trajectoire, on intégrera sa vitesse (algébrique). D’emblée, l’intégrale d’une fonction peut s’interpréter comme l’accroissement de l’une de ses primitives. Pendant deux siècles, si les techniques de calcul des intégrales se sont améliorées, les objets intégrés sont restés de même nature : applications analytiques essentiellement, puis, au début du XIX ^e siècle, continues (Cauchy). Simultanément, ce même Cauchy tente de donner un sens à l’intégrale d’une fonction non bornée, ou bien définie sur un intervalle qui n’est pas un segment : cette notion correspond à celle d’intégrale impropre. De cette époque (Fourier) date la notation ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

Avec le développement de l’analyse harmonique, d’une part, et la nécessité de donner un statut précis aux opérations de l’analyse, d’autre part, des tentatives nombreuses visent alors à définir l’intégrale de fonctions appartenant à une classe assez large et à en déterminer les propriétés : citons Dirichlet, qui cherche à généraliser la notion d’intégrale impropre, et surtout Riemann, qui définit sur une certaine classe de fonctions, les fonctions intégrables au sens de Riemann, une intégrale restée très classique. Le point de départ est le même que chez Cauchy, si ce n’est que la fonction à intégrer n’est pas a priori supposée continue, ni même assez régulière. De fait, ce qui détermine le caractère intégrable de la fonction, c’est la seule convergence du procédé d’intégration. En réalité échappent à l’intégration de Riemann les fonctions trop irrégulières, trop grandes ou bien définies sur des ensembles trop compliqués ou non bornés.

La fin du XIX^e siècle voit le développement des notions les plus générales de fonction et, avec lui, le goût pour des outils dont le champ d’application est le plus vaste possible. On cherche à intégrer des fonctions éventuellement très irrégulières. De cette époque date l’intégrale supérieure de Darboux, qui n’est pas sans rapport avec l’intégrale de Lebesgue.

Lebesgue part de la constatation suivante : Riemann découpe l’intervalle de départ en petits intervalles I _k , centrés en x_k , et postule que l’intégrale de la fonction f est proche de celle de la fonction en escalier, égale à f (x_k ) sur I _k . Les limitations de l’intégrale de Riemann sont inhérentes à ce présupposé. En réalité, il est beaucoup plus efficace de découper l’ensemble d’arrivée (la droite numérique) en petits intervalles J_k centrés en y_k , de calculer la mesure µ_k de l’ensemble des x tels que f(x) appartienne à J_k , et de postuler que l’intégrale de f est proche de la somme pondérée ${\displaystyle \sum _k{Y}_k{\mu }_k}$  ; ainsi, si f prend la valeur 7 sur un ensemble de mesure 3 et la valeur 2 sur un ensemble de mesure 5, son intégrale sera égale à 3 × 7 + 5 × 2 = 31 : peu importe, en fait, la façon dont sont répartis au départ les points en lesquels f prend les valeurs 7 et 2.

Le problème devient alors celui‐ci : comment mesurer des ensembles ? L’intégrale s’en déduira. On revient ainsi aux sources historiques de l’intégrale. La théorie initiée par Lebesgue est à la fois celle de l’intégrale de Lebesgue et celle de la mesure de Lebesgue.

Cette théorie et ses améliorations possèdent une généralité et une efficacité suffisantes, qui pourraient paraître même plus que suffisantes si l’on se limitait à la simple étude des fonctions, qui atteignait au début de ce siècle un haut degré de sophistication ; mais elle trouve, dans la théorie moderne des probabilités, ainsi que dans le cadre de l’analyse fonctionnelle et de ses nombreuses applications (distributions, par exemple), une place éminente, qui rend justice à son extraordinaire généralité.

Dans la suite, nous allons présenter l’intégrale des applications réglées sur un segment de la droite numérique. Légèrement moins générale que l’intégrale de Riemann, elle est suffisante pour beaucoup d’applications. Elle est d’ailleurs utile pour la construction de l’intégrale de Lebesgue. Nous donnons ensuite une extension élémentaire qui conduit à la notion d’intégrale impropre. Puis, nous introduisons l’intégrale de Lebesgue et énonçons les résultats qui en constituent à la fois l’originalité et la force.

On verra que la construction des intégrales considérées a fait l’objet de détails qui pourraient sembler superfétatoires. Une raison majeure en est la suivante : il est très difficile de manipuler les objets intégrés qui, dans le cas de l’intégrale de Lebesgue, ne sont pas des applications au sens strict, sans les avoir au moins une fois construits. Seuls ceux qui ont déjà longuement manipulé l’intégrale de Lebesgue pourraient à la rigueur s’en passer. Néanmoins, à partir du paragraphe 2.4.2 les preuves ne sont, le plus souvent, qu’évoquées. De fait, à ce stade, elles ne présentent pas de difficulté majeure, si l’on excepte le paragraphe 2.7, consacré aux intégrales multiples.

Quelques exemples de calculs explicites font l’objet d’un dernier paragraphe, qui ne traite pas des calculs numériques d’intégrales, dont les méthodes sont évoquées ailleurs.