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RÉSUMÉ
Cet article présente les équations différentielles générales, qui offrent le cadre le moins artificiel pour étudier les phénomènes complexes régis par des lois continues. Tout d'abord, le théorème de Cauchy-Lipschitz est expliqué. Il permet de cerner les résultats généraux que l’on peut espérer appliquer à une équation différentielle. Puis des méthodes qualitatives d'étude et notamment des méthodes numériques sont abordées.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand
INTRODUCTION
Dans les applications, les équations différentielles qui s’introduisent le plus naturellement sont les équations différentielles autonomes, qui sont étudiées dans le cadre des systèmes dynamiques () et les équations différentielles linéaires (), éventuellement non autonomes, qui modélisent des systèmes entretenus simples. Les équations différentielles les plus générales, celles qui font l’objet du présent article, offrent néanmoins le cadre le moins artificiel pour étudier les phénomènes complexes régis par une loi continue. Leur étude permet en outre, sous des hypothèses plus fortes, d’obtenir les résultats théoriques nécessaires à l’analyse des équations autonomes. En outre, les techniques qualitatives qui leur sont dédiées s’appliquent, mutatis mutandis, aux équations différentielles autonomes et linéaires. L’usage de l’ordinateur peut être d’un grand secours, tant dans la résolution exacte et approchée de ces équations que dans leur étude qualitative. Le calcul exact (formel) des solutions de certaines classes d’équations différentielles fera l’objet d’un article séparé.
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Méthodes qualitatives d’étude
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1. Théorème de Cauchy-Lipschitz
Le théorème de Cauchy-Lipschitz permet de cerner les résultats généraux que l’on peut espérer appliquer à une équation différentielle. Nous présentons tout d’abord le cas des équations scalaires d’ordre un, qui permet une visualisation simple de la situation. Les autres cas n’en sont que des généralisations faciles ou s’y ramenant directement.
1.1 Problème de Cauchy
1.1.1 Équations différentielles scalaires d’ordre un
Soit Ω un ouvert de
et
. Nous ferons ultérieurement d’autres hypothèses sur f.
Définition 1
Soit
, où I est un intervalle de
.
Nous disons que x est solution de l’équation différentielle scalaire d’ordre un résolue en
:
lorsque :
(1) le graphe de x est inclus dans Ω ;
(2) ∀t ∈ I
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