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RÉSUMÉ
Sujet classique des mathématiques, le calcul des variations a fait couler beaucoup d'encre et sur un grand nombre d'échanges, les modèles proposés étant souvent exprimés en termes de minimalité ou maximalité. Les méthodes classiques (équation d’Euler-Lagrange, formulation hamiltonienne et équation de Hamilton-Jacobi) et les méthodes directes (espaces de Sobolev, résultat général et régularité) sont ici explicitées. Le cas vectoriel des méthodes directes est ensuite abordé à l’aide des différentes notions de convexité et d’un résultat d’existence. Les problèmes non convexes du calcul des variations viennent terminer cet article : différentes enveloppes, théorème de relaxation et divers exemples.
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Bernard DACOROGNA : Professeur, Section de mathématiques EPFL (École polytechnique fédérale de Lausanne), Suisse
INTRODUCTION
Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathématiques. Il a attiré un grand nombre de mathématiciens célèbres. Avant de présenter le cas modèle le plus important, nous allons commencer par une discussion informelle. En mathématiques, en physique, dans les sciences de l'ingénieur ou même en économie ou en écologie, les modèles sont souvent exprimés en termes d'un principe de minimalité ou de maximalité. C'est précisément la question centrale du calcul des variations. Par exemple, en mathématiques, on peut être intéressé à trouver, sous certaines contraintes, une courbe de longueur minimale ou une surface d'aire minimale. En physique, un exemple typique est le principe de moindre action ; d'autres exemples seront donnés dans cet exposé de manière plus détaillée. Par ailleurs, les lois de conservation, qui correspondent mathématiquement à des équations différentielles, sont souvent dérivées à partir d'un principe variationnel. Les solutions du problème variationnel sont alors des solutions d'équations différentielles associées.
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Problèmes non convexes du calcul des variations
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4. Méthodes directes (le cas vectoriel)
Le problème est maintenant le suivant :
où
(on peut aussi considérer le cas où n ≠ N, mais ici nous nous restreignons, essentiellement pour des questions de notations, au cas n = N) et :
-
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est un ouvert borné ; -
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; -
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,
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et
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; -
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veut dire, au sens des espaces de Sobolev, que u = u0 sur ∂Ω.Le résultat d'existence mentionné au paragraphe reste vrai dans le contexte vectoriel, mais il est alors très loin d'être optimal et de vérifier les hypothèses réalistes imposées par les problèmes physiques. C'est l'hypothèse de convexité qui peut être affaiblie et de beaucoup. Toutefois cette généralisation n'est pas simple et surtout pas univoque.
est un ouvert borné ;
;
,
et
;
veut dire, au sens des espaces de Sobolev, que u = u0 sur ∂Ω.4.1 Les différentes notions de convexité
Voici les différentes notions de convexité que l'on rencontre dans les problèmes vectoriels.
Définition 4. On dira qu'une fonction
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Méthodes directes (le cas vectoriel)
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AKHIEZER (N.I.) - The calculus of variations - . Blaisdell, New York (1962).
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(2) - BLISS (G.) - Lectures on the calculus of variations - . University of Chicago Press, Chicago (1951).
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(3) - BOLZA (O.) - Lectures on the calculus of variations - . Chelsea Publication, New York (1946).
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(4) - BUTTAZZO (G.), GIAQUINTA (M.), HILDEBRANDT (S.) - One dimensional variational problems - . Oxford University Press, Oxford (1998).
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(5) - CARATHÉODORY (C.) - Calculus of variations and partial differential equations of the first order - . Holden Day, San Francisco (1965).
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(6) - CESARI (L.) - Optimization – Theory and applications - . Springer, New York (1983).
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