Dérivabilité d’une fonction de la variable complexe
Analyse complexe - Théorie des applications holomorphes

Les nombres complexes se sont introduits en premier lieu dans les formules de résolution par radicaux des équations du troisième et du quatrième degré (travaux de Cardan, de Ferrari et de Scipion del Ferro au XVI ^e siècle). Jusqu’à la création du calcul infinitésimal, leur existence a été d’ordre algébrique.

De ce seul point de vue, le théorème fondamental de l’algèbre, qui stipule que tout polynôme admet une racine complexe, est déjà un enjeu qui nécessite un examen approfondi de la nature géométrique du champ complexe.

D’autre part, la trigonométrie conduit Euler à énoncer ses formules célèbres, qui relient l’exponentielle complexe aux lignes circulaires réelles. De cette période date l’étude précise des fonctions de la variable complexe. Il apparaît rapidement que, si elles ne posent pas de problème essentiellement nouveau quant à leur continuité, elles nécessitent un autre traitement lorsqu’il s’agit de leur dérivabilité.

Cela est dû à la nature même du plan complexe : contrairement à la droite réelle, il ne peut être muni d’une structure de corps ordonné, ce qui permet justement à – 1 d’y trouver une racine carrée, le nombre « i ». D’un autre côté, une application continue n’admet en général pas de primitive dans  : l’intégration s’y fait là le long de chemins, et il y en a de nombreux qui mènent d’un point à un autre. Dans , seul un segment convient. Ces divergences profondes à l’égard de la primitivation ont des conséquences sur la notion même de dérivabilité. C’est à Cauchy qu’il revient, à travers la formule de Cauchy, de montrer qu’une application dérivable de la variable complexe est en fait indéfiniment dérivable, et même analytique.

Une des conséquences de ce constat fondamental est la grande rigidité de la notion même d’application dérivable de la variable complexe (appelée aussi application holomorphe). Une autre, plus heureuse, est de permettre de nombreux calculs d’intégrales au moyen de la formule des résidus, un des avatars de la formule de Cauchy.

L’analyse complexe d’une variable trouve de nouveaux développements dans l’étude des applications harmoniques de deux variables réelles et, un peu plus tard, dans ses applications à l’arithmétique. L’étude de la fonction zêta et, notamment, la localisation des points où elle s’annule, conduit au théorème des nombres premiers, qui en précise la répartition. La conjecture de Riemann, toujours d’actualité, est de la même veine. D’autre part, en restant dans le domaine plus terre à terre des applications à la physique, de nombreuses fonctions spéciales, définies dans une partie du champ complexe, sont utilisées pour résoudre des équations différentielles ou des équations fonctionnelles. À l’heure actuelle, les fonctions de la variable complexe sont un outil fondamental dans la résolution des problèmes du calcul infinitésimal.

La première partie de l’article « Analyse complexe » est essentiellement consacrée à l’élucidation des propriétés, plutôt surprenantes de prime abord, que la dérivabilité d’une application lui impose.

On trouvera, dans la seconde partie Analyse complexe- Applications holomorphes