Géométrie différentielle

Cet article a pour but de présenter les bases de la géométrie différentielle locale des courbes et des surfaces au sein d’un espace euclidien. Dans un premier temps, nous étudierons la théorie des courbes qui servira ensuite de base à la théorie des surfaces. Dans les deux cas, pour les courbes et les surfaces, nous suivrons le même fil conducteur. Nous introduirons d’abord la représentation paramétrique des courbes et des surfaces sur laquelle se basent les études de la géométrie différentielle. C’est dans ce cadre que nous présenterons la notion importante de grandeur géométrique d’une courbe ou d’une surface, à laquelle nous dédierons la suite de cet article afin de caractériser les courbes et les surfaces. Seront étudiées en particulier les propriétés métriques, ainsi que les notions de courbure des courbes et des surfaces. L’étude se terminera par la présentation du théorème fondamental de la théorie des courbes, respectivement des surfaces, qui donne un moyen de caractériser et de distinguer les courbes, repectivement les surfaces, ainsi que de les reconstruire à partir de certaines données caractéristiques.

Plus précisément les points abordés dans ce dossier sont les suivants :

• la représentation paramétrique des courbes et des surfaces conduisant aux définitions de point régulier et singulier, ainsi que de changement de paramètre et de grandeur géométrique ;

• les propriétés métriques des courbes et des surfaces, en particulier la notion d’abscisse curviligne pour les courbes et celle de la première forme fondamentale pour les surfaces ;

• les notions de courbure, en particulier les grandeurs courbure et torsion pour les courbes et la deuxième forme fondamentale, la courbure normale, les courbures principales, la courbure de Gauss et la courbure moyenne pour les surfaces.

De nombreuses disciplines théoriques et pratiques utilisent ces résultats, voir par exemple  .

Ainsi, en ce qui concerne la théorie, ils existent des interactions entre la géométrie différentielle et d’autres domaines des mathématiques, comme l’analyse  , la théorie des équations différentielles  , le calcul variationnel  ou les statistiques  .

Du point de vue pratique, la géométrie différentielle constitue une partie essentielle des bases de certaines sciences appliquées, telles que la physique, la géodésie, la géographie, l’architecture ainsi que la CAO (conception assistée par ordinateur) et l’informatique graphique :

• les standards de la représentation de courbes et de surfaces utilisés par les logiciels de CAO, les représentations de Bézier – de Casteljau ou de B-Spline et de NURBS, sont des représentations paramétriques. Les fonctionnalités des logiciels de CAO se basent fortement sur les notions de la géométrie différentielle, voir par exemple  ;

• la visualisation et la manipulation d’objets dans un environnement graphique sur ordinateur fait souvent appel à la géométrie différentielle. Certaines qualités d’une courbe ou d’une surface sont jugées à l’aide de ses courbures, voir par exemple . La visualisation de nombreux phénomènes scientifiques peut se ramener à l’étude de caractéristiques de courbes et de surfaces. Le domaine scientifique correspondant est appelé visualisation scientifique, voir par exemple    ;

• en architecture, des surfaces ayant des caractéristiques de géométrie différentielle particulières sont souvent intégrées dans des bâtiments. Par exemple, le toit du stade olympique de Munich en Allemagne est une surface minimale ;

• en géodésie et en géographie, les mesures sont prises sur la surface de la terre, qui peut être approchée par une sphère. La connaissance de la métrique de cette surface classique, étudiée en géométrie différentielle locale, permet les calculs nécessaires. Dans ce contexte, la notion de géodésique est importante, ainsi que les résultats correspondants de la géométrie différentielle globale, qui n’est pas abordée dans ce dossier. Nous conseillons la lecture de    ;

• la géométrie différentielle constitue également le cadre naturel pour une multitude de domaines des sciences physiques, tels que la relativité restreinte et générale , l’électromagnétisme  , la thermodynamique , ,  et la mécanique classique  .