Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article présente la famille des suites automatiques, par définition les suites déterministes, périodiques ou ultimement périodiques, engendrées par des automates. Il s’attarde longuement sur les propriétés et applications des séries formelles sur un corps commutatif, ainsi que sur les alphabets et morphismes employés dans ces suites. Le théorème de Christol, qui stipule l’équivalence entre l’algébricité d’une série formelle à coefficients dans un corps fini et l’automaticité de la suite de ses coefficients, y est largement introduit.
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Jean-Paul ALLOUCHE : CNRS, LRI (Laboratoire de recherche en informatique)
INTRODUCTION
Comment reconnaître si une suite (infinie) binaire est « au hasard » ? La difficulté de la question et le caractère non universel des réponses (au hasard dans quel sens ? pour quel usage ?) font qu’on peut imaginer poser la question à l’envers en quelque sorte et demander ce qu’est une suite « déterministe ».
Parmi les suites déterministes, celles engendrées par des « machines abstraites » semblent les plus faciles à étudier. C’est le cas des suites engendrées par automate fini, encore appelées « suites automatiques », dont une définition informelle pourrait être que ce sont des suites dont le ne terme dépend de la valeur donnée par un automate fini (qu’on pourrait représenter comme une sorte de graphe avec des étiquettes mais dont une définition formelle sera donnée plus loin) dans lequel on entre les uns après les autres les chiffres de l’entier n dans une base entière donnée.
Les suites ainsi construites sont bien sûr déterministes ; certaines d’entre elles peuvent être périodiques ou ultimement périodiques (périodiques à partir d’un certain rang), mais celles qui ne sont pas périodiques présentent la double particularité d’être « faciles » à engendrer mais de pouvoir être « compliquées » (comme pourraient l’être des suites « chaotiques » voire... au hasard).
Dans ce qui suit, nous allons présenter cette famille de suites, en insistant sur les propriétés des séries formelles associées sur un corps fini. Le résultat fondamental (théorème de Christol) a été historiquement un pont important entre la théorie des automates (et donc l’informatique théorique) et la théorie des nombres. Nous citerons aussi, très brièvement, des relations avec d’autres domaines des mathématiques, avec la physique (des quasi-cristaux), voire avec la composition musicale.
L’étude systématique des suites automatiques a commencé avec trois articles d’Alan Cobham entre 1968 et 1972 . Elles ont connu leur essor dans leurs liens avec la théorie des nombres avec un article de Gilles Christol en 1979 , puis un article de Gilles Christol, Teturo Kamae, Michel Mendès France et Gérard Rauzy en 1980 . Leurs développements les plus récents pourront être trouvés dans un livre collectif signé Pytheas Fogg , dans un livre de Friedrich von Haeseler , ainsi que dans un livre de Jeff Shallit et de l’auteur .
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Séries formelles sur un corps commutatif
En anglais
5. Quelques autres propriétés et applications des suites automatiques
Les suites automatiques ou leurs généralisations (suites automatiques à plusieurs dimensions, suites morphiques, suites q-régulières...) ont de nombreuses propriétés qui font qu’on les trouve dans plusieurs branches des mathématiques ou de l’informatique théorique. Nous ne ferons ici qu’une promenade fort rapide, renvoyant le lecteur à la bibliographie pour plus d’informations.
Le premier domaine dont nous allons parler est celui de la théorie des nombres. Nous avons vu que les suites q-automatiques sont exactement les coefficients des séries formelles algébriques sur le corps des fractions rationnelles à coefficients dans le corps à q éléments. On peut se demander de quelle sorte de nombres réels les suites automatiques peuvent être les « coefficients » (c’est-à-dire les chiffres dans une base de numération entière donnée). Par exemple la suite de Prouhet-Thue-Morse rencontrée plus haut peut être interprétée comme le développement en binaire (ou en base 10 par exemple) d’un nombre réel θ :
Quelle est la nature arithmétique de ce nombre ? On sait depuis trois quarts de siècle que ce nombre est transcendant (c’est-à-dire non algébrique). On n’a que depuis cette année une preuve complète que tous les nombres réels dont le développement dans une base entière est une suite automatique sont transcendants ou rationnels (résultat dû à B. Adamczewski, Y. Bugeaud, et F. Luca). En d’autres termes les décimales d’un nombre algébrique irrationnel comme
ne peuvent pas être engendrées par un automate fini.
Les suites automatiques ont d’autres propriétés de nature arithmétique ; ont été ainsi étudiées les séries de Dirichlet à coefficients automatiques, la répartition des puissances d’une série formelle de Laurent automatique, la transcendance (via les automates) de séries formelles de Carlitz qui ressemblent à la fonction zêta de Riemann et à la fonction Gamma, etc.
En géométrie discrète les suites automatiques à plusieurs dimensions ont des applications...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLOUCHE (J.-P.), SHALLIT (J.) - Automatic sequences. Theory, Applications, Generalizations - , Cambridge University Press, 571 + xvi pages (2003).
-
(2) - CHRISTOL (G.) - Ensembles presque périodiques k-reconnaissables - , Theoretical Computer Science 9, p. 141-145 (1979).
-
(3) - CHRISTOL (G.), KAMAE (T.), MENDÈS FRANCE (M.), RAUZY (G.) - Suites algébriques, automates et substitutions - , Bulletin de la Société Mathématique de France 108, p. 401-419 (1980).
-
(4) - COBHAM (A.) - On the Hartmanis-Stearns problem for a class of tag machines - , IEEE Conference Record of 1968 Ninth Annual Symposium on Switching and Automata Theory, p. 51-60 (1968).
-
(5) - COBHAM (A.) - On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata - , Mathematical Systems Theory 3, p. 186-192 (1969).
-
(6) - COBHAM (A.) - Uniform...
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