Bibliographie & annexes
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Auteur(s)
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Guy CHASSÉ : Maître-Assistant de mathématiques - École des Mines de Nantes
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Lire l’articleINTRODUCTION
Dans les exemples décrits dans l’article « Mathématiques », l’algorithme étant choisi, les deux correspondants se mettaient d’accord sur la clé K qu’ils gardaient secrète. Le processus était alors symétrique ; chacun pouvait envoyer et recevoir des messages confidentiellement. On dit que de tels algorithmes sont symétriques ou à clé secrète.
Les années 1970 ont vu apparaître un nouveau type d’algorithmes dits à clé publique ou asymétriques. Ils correspondent, dans notre formalisme, à une situation où la donnée de EK ne suffit pas pratiquement (en un sens à définir précisément, mais disons à l’aide des moyens de calculs existants) pour retrouver DK. Dans ce cas, le procédé n’est plus symétrique ; le possesseur de EK est capable d’envoyer des messages au détenteur de DK qui sera le seul à pouvoir les lire. Il n’y a alors aucune raison de laisser l’application EK secrète ; on la publie sous l’appellation de clé publique. Chacun peut envoyer de manière confidentielle des messages au possesseur de DK, cette dernière application ou ce qu’il faut pour la construire prenant le nom de clé secrète. Dans la suite de ce texte, nous allons décrire des exemples qui permettront de clarifier cette notion d’algorithme à clé publique.
L’article « Cryptographie » fait l’objet de deux fascicules :
AF 172 Mathématiques
AF 173 Algorithmes
Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres.
Le lecteur devra assez souvent se reporter à l’autre fascicule.
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Conclusion
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4. Théorie algorithmique des nombres
4.1 Factorisation
Nous présentons l’algorithme appelé « p – 1 de Pollard ». Nous cherchons à donner l’idée mise en œuvre dans cet algorithme plutôt que les détails.
Soit n le nombre à factoriser. Soit p un facteur premier de n :
n = pkmoù m est premier à p et supposons que tous les facteurs premiers de p – 1 soient inférieurs à une petite borne R. Désignons par
, pour chaque nombre premier q
R, la partie entière de lnn/lnq.
On prend au hasard un nombre a, 1 < a < n – 1, puis on calcule
, puis le plus grand commun diviseur (a 1 – 1, n). Si le dernier calcul ne donne pas de diviseur non trivial de n, on pose
, où q’ est un autre nombre premier inférieur à R, puis (a 2 – 1, n) et on poursuit si le dernier calcul n’a pas donné de facteur non trivial de n. Si ce procédé ne donne pas de factorisation de n, on recommence avec un autre a.
Explicitons ce qui se produit. D’après le théorème chinois, le groupe multiplicatif
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Théorie algorithmique des nombres
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - * - La lecture de cet article suppose du lecteur une certaine familiarité avec les structures algébriques (en particulier finies, c’est-à-dire avec un nombre fini d’éléments) telles que groupes, anneaux, corps. Nous avons essayé de redonner l’essentiel de ce qui est nécessaire au début. Un traitement plus complet est à rechercher dans ou ou bien encore, pour la partie groupes, dans . Le lecteur ne craignant pas de s’aventurer dans des ouvrages plus difficiles pourra trouver ce dont il a besoin dans et .
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(2) - * - L’aspect historique de la cryptographie, jusqu’à la fin des années 1970 en particulier, est traité dans . Une présentation très intéressante est à lire dans . Ceux qui cherchent une initiation assez rapide aux aspects algébriques de la cryptographie pourront la trouver dans .
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(3) - * - Pour une vision d’ensemble de la cryptographie actuelle et de ses utilisations (et même des programmes informatiques de certains algorithmes dans le second), nous citerons deux livres récents et fondamentaux : et . Signalons, notamment (ce qui peut être fort utile), qu’une reproduction des sommaires des actes des différents colloques de cryptographie du début des années 1980 à 1996 se trouve dans .
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(4) - BEKER (H.), PIPER (F.) - Cipher...
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