Définition et propriétés du corps des nombres réels
Corps des nombres réels

On présente dans cet article les principales propriétés du corps $ℝ$ des nombres réels. Celles-ci sont en effet fondamentales pour toute l'étude de l'analyse réelle ou complexe.

On commence, d’abord, par définir la notion de corps, supposé ici commutatif, en rappelant les principales règles de calcul communes à tous les corps, avec notamment la formule donnant la somme des n + 1 premiers termes d'une série géométrique ou la formule du binôme de Newton qui sont essentielles à connaître.

On introduit, ensuite, le concept d'ensemble ordonné, en insistant sur les notions de bornes supérieure et inférieure qu'il convient de bien maîtriser dans le cas de $ℝ$ , et on donne la définition d'un corps totalement ordonné en introduisant au passage la notion de valeur absolue.

Après avoir montré certaines insuffisances du corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, on définit le corps des nombres réels comme étant le corps totalement ordonné vérifiant les axiomes équivalents de la borne supérieure et de la borne inférieure. Mais la construction de $ℝ$ – dont le principe remonte à 1872, que ce soit par la méthode des coupures de Dedekind ou par la méthode de Cantor de passage au quotient de l'anneau des suites de Cauchy de nombres rationnels – a été renvoyée en annexe vu son caractère technique et son intérêt somme toute assez modeste pour l’utilisation théorique et pratique des nombres réels. On établit alors les principales propriétés de $ℝ$ , notamment l'existence des racines carrées (et plus généralement des racines n^ièmes pour les nombres positifs) en rappelant au passage le principe de résolution des équations du second degré et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, puis la convergence dans $ℝ$ des suites mono-tones bornées et des suites de Cauchy de nombres réels.

L’exposé s’achève par l'approximation des nombres réels par les nombres rationnels ; on développe l’approximation des réels :

• d'une part, par les suites de leurs valeurs décimales approchées à 10 ^–n près, ce qui est important pour l’utilisation pratique des nombres réels ;

• d'autre part, par la suite de leurs fractions continuées (ou fractions continues) qui constituent, en un sens qui sera précisé, les meilleures approximations des nombres réels par les nombres rationnels.

On établit enfin à titre d’exemple l’irrationalité des nombres e et π, en indiquant (mais sans démonstration) leur caractère transcendant.