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En anglais
Auteur(s)
-
Louis COMTET : Agrégé de Mathématiques - Docteur ès Sciences Mathématiques - Maître de conférences à l’Université de Paris-Sud
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L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui, sur des ensembles finis, traite de problèmes de dénombrements (ou comptages), d’énumérations (ou listages) et d’estimations (encadrements et asymptotisme).
Cette vision, certes assez réductrice, est cependant très riche. Dans le foisonnement des sujets dits de nature combinatoire, on a dû, dans cet article, faire un choix, et exclure certaines théories voisines, et importantes, comme celle des graphes, par exemple. Les principales applications du sujet se présentent évidemment en calcul des probabilités et en statistique. Néanmoins, il ne faut pas dissimuler que bien des problèmes traditionnels de l’analyse, de l’algèbre et de la géométrie sont d’essence combinatoire, et évidemment, plus encore, ceux récemment posés par l’informatique.
Cette science de l’Analyse combinatoire est, dit-on en France, née avec les travaux de Pascal qui, confronté à des questions de probabilités dans les jeux, donna, sans doute l’un des premiers, les coefficients du développement du binôme (x + y)n au moyen de son triangle qu’il appelait alors « triangle mystique ». Mais bien d’autres savants du XVII e siècle ont apporté leur pierre à l’édifice naissant. Citons, parmi eux, Leibniz, Newton, Wallis, Jacques Bernoulli et Moivre... Après cela, les XVIII e et XIX e siècles sont avares d’ouvrages consacrés à ce sujet, et cette science paraît alors un peu délaissée. Au début du XX e siècle, l’œuvre de Netto (Allemagne), de MacMahon (Angleterre) et d’André et de Lucas (France) redonnent petit à petit force à cette discipline, qui s’épanouit enfin en toute plénitude à partir des années 1950.
L’intitulé même de cette spécialité a lui-même fluctué au cours du temps. De la classique « Analyse combinatoire » on est passé à la « Combinatoire », condensé plaisant et commode. Mais on dit aussi la « Combinatorique », de l’allemand Kombinatorik, titre du célèbre ouvrage de Netto, 1901, aussi utilisé en anglais sour la forme de Combinatorics...
Et comment appeler ceux et celles dont le métier est de chercher (et même parfois trouver !) en Combinatoire ? Assurément, la langue française voudrait qu’ils s’appelassent des « Combinatoriens »... N’a-t-on pas Histoire → Historien, Oratoire → Oratorien, Prétoire → Prétorien ? Mais certaines personnes autorisées continuent à préférer « Combinatorialistes », comme Mémoire → Mémorialiste, ou même, plus rarement, « Combinatoriciens », comme Informatique → Informaticien... À chacun de choisir !
Les méthodes des Combinatoriens, qui étaient originellement adaptées à la seule résolution de problèmes particuliers, tendent actuellement à utiliser des méthodes générales de résolution : fonctions génératrices, bijections, probabilisation, génération automatique d’identités, théorie des groupes, fonctions de la variable complexes, arithmétique, etc.
Enfin, depuis quelques années, la recherche de l’explicite dans beaucoup de domaines des mathématiques a achevé de donner force de loi à des calculs combinatoires réputés difficiles ou même inextricables autrefois, maintenant maîtrisés, et dont l’esthétique peut combler.
L’article « Analyse combinatoire » fait l’objet de plusieurs fascicules :
AF 200 Analyse combinatoire élémentaire
AF 201 Analyse combinatoire avancée
AF 202 Analyse combinatoire approfondie
Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres.
Le lecteur devra assez souvent se reporter aux autres fascicules.
Le lecteur pourra utilement se reporter aux références bibliographiques.
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Principes et premières applications
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3. Triangle de Pascal
3.1 Récurrence triangulaire
Nous avons maintenant, grâce aux résultats précédents, une formule explicite (théorème 5) pour le nombre
de parties à k éléments d’un ensemble N lui-même à n éléments, ce que l’on note :
On peut disposer ces nombres selon un tableau à double entrée, les lignes étant indexées par n ∈
et les colonnes par k ∈
. On sait par avance que :
ce qui conduit à un tableau triangulaire inférieur appelé triangle de Pascal (figure 21). Les bords du triangle valent :
On a ajouté deux colonnes à l’extrême gauche pour y mettre la valeur des sommes horizontales (+), soit 2n, et la valeur des sommes alternées (±), soit 0. Il fallait s’y attendre par développement de (1 + 1)n et (1 – 1)n.
Proposition 4.
On a la formule de symétrie :
Preuve 1 (Constat) .
...
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Triangle de Pascal
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BERMAN (G.), FRYER (K.) - Introduction to Combinatorics, - Academic Press, 1992. ISBN 70-182646.
-
(2) - CARR (G.) - Formulas and Theorems in Pure Mathematics, - Chelsea Reprint, 1970. ISBN 0-8284-0239-6.
-
(3) - COMTET (L.) - Advanced Combinatorics, - Reidel, 1974. ISBN 90-277-0380-9.
-
(4) - COMTET (L.) - Analyse Combinatoire - (2 volumes), PUF, 1970.
-
(5) - DAVID (F.N.), BARTON (D.E.) - Combinatorial Chance, - Charles Griffin, 1962.
-
(6) - FELLER (W.) - An Introduction to Probability Theory (2 volumes), - John Wiley, 1966.
-
(7) - FLAJOLET (Ph.), SEDGEWICK (R.) - The...
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