Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Les systèmes hamiltoniens sont à la base de la description des systèmes physiques et des systèmes commandés largement utilisés dans les applications en mécanique, en automatique ou en robotique. Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens de dimension finie. Des résultats de base y sont principalement présentés en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales.
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Hamiltonian systems are at the basis of the description of physical systems and controlled systems which are widely used in mechanical, automatic or robotic applications. This article provides an overview of the modern calculation methods of variations applied to the search for periodic, homocline or heterocline solutions for Hamiltonian systems of finite dimension. The basic results are particularly presented by focusing on underlying ideas without trying to present the optimal hypothesis.
Auteur(s)
-
Denis BONHEURE : Chargé de recherches du FNRS (Fonds de la Recherche Scientifique), Belgique
-
Michel WILLEM : Professeur à l'université catholique de Louvain, Belgique
INTRODUCTION
Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens (de dimension finie). Nous y présentons principalement des résultats de base en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales. Nous renvoyons le lecteur aux articles originaux en [Doc. AF 160] pour des résultats plus complets et pour les détails techniques.
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Conclusion
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6. Solutions multibosses et dynamique chaotique
Les résultats que nous avons présentés dans les deux paragraphes précédents établissent l'existence d'au moins une solution homocline ou hétérocline d'un système hamiltonien donné. Nous considérons dans ce paragraphe des résultats de multiplicité. Par ailleurs, l'existence d'un grand nombre d'orbites homoclines et hétéroclines est fréquemment l'indice d'une dynamique chaotique.
6.1 Homoclines et hétéroclines multibosses
Les théorèmes qui suivent illustrent le type de résultats connus concernant la multiplicité des solutions. Considérons le potentiel :
où L est 1-périodique et satisfait (L 1),
est 1-périodique et satisfait (W 1) et ∇xx W (t, 0) = 0.
Définissons, comme dans le théorème 15, le niveau de col c associé à la fonctionnelle d'action :
Comme nous l'avons mentionné dans le paragraphe , la condition de Palais-Smale n'est pas vérifiée au niveau c, c'est-à-dire il existe des suites
telles que
,
mais ne possédant pas de sous-suite convergente. En fait, il en est de même en tous...
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Solutions multibosses et dynamique chaotique
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BROSSARD (J.-P.) - Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique. - [A 1 666] Base documentaire « Physique-Chimie » (1995).
-
(2) - CRÉTÉ (D.) - Convertisseurs analogiques/numériques supraconducteurs. - [RE 24] Base documentaire « Électronique » (2004).
-
(3) - DACOROGNA (B.) - Calcul des variations. - [AF 111] Base documentaire « Mathématiques pour l'Ingénieur » (2007).
ANNEXES
Références
BARTSCH (T.), SZULKIN (A.) - Hamiltonian systems : periodic and homoclinic solutions by variational methods. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. II, p. 77-146 (2005).
BOSETTO (E.), SERRA (E.) - A variational approach to chaotic dynamics in periodically forced nonlinear oscillators. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 17, no 6, p. 673-709 (2000).
BONHEURE (D.), SANCHEZ (L.) - Heteroclinic orbits for some classes of second and fourth order differential equations. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. III, p. 103-202 (2006).
BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. - Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise, Masson, Paris, xiv+234 p. (1983).
CALDIROLI (P.), NOLASCO (M.) - Multiple homoclinic solutions for a class of autonomous singular systems in R2. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 15, no 1, p. 113-125 (1998).
CLARKE (F.H.) - A classical variational principle for periodic hamiltonian trajectories. - Proc. Amer. Math. Soc., 76, no 1, p. 186-188 (1979).
COTI ZELATI (V.), EKELAND (I.), SÉRÉ (E.) - A variational approach to homoclinic orbits in hamiltonian systems. - Math. Ann., 288, no 1, p. 133-160 (1990).
COTI ZELATI (V.), RABINOWITZ (P.H.) - Homoclinic orbits for second order hamiltonian systems possessing superquadratic potentials. - J. Amer. Math. Soc., 4, no 4, p. 693-727 (1991).
EKELAND (I.) - Convexity methods in hamiltonian mechanics. - Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), Springer-Verlag, Berlin, 19, x+247 p. (1990).
EKELAND (I.), LASRY (J.-M.) - On the number of periodic trajectories for a hamiltonian flow on a convex energy surface. - Ann. of Math. (2), 112, no 2, p. 283-319 (1980).
EKELAND...
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