Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Les systèmes hamiltoniens sont à la base de la description des systèmes physiques et des systèmes commandés largement utilisés dans les applications en mécanique, en automatique ou en robotique. Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens de dimension finie. Des résultats de base y sont principalement présentés en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales.
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Hamiltonian systems are at the basis of the description of physical systems and controlled systems which are widely used in mechanical, automatic or robotic applications. This article provides an overview of the modern calculation methods of variations applied to the search for periodic, homocline or heterocline solutions for Hamiltonian systems of finite dimension. The basic results are particularly presented by focusing on underlying ideas without trying to present the optimal hypothesis.
Auteur(s)
-
Denis BONHEURE : Chargé de recherches du FNRS (Fonds de la Recherche Scientifique), Belgique
-
Michel WILLEM : Professeur à l'université catholique de Louvain, Belgique
INTRODUCTION
Ce dossier contient un aperçu des méthodes modernes du calcul des variations appliquées à la recherche de solutions périodiques, homoclines ou hétéroclines pour des systèmes hamiltoniens (de dimension finie). Nous y présentons principalement des résultats de base en mettant l'accent sur les idées sous-jacentes sans chercher à énoncer les hypothèses optimales. Nous renvoyons le lecteur aux articles originaux en [Doc. AF 160] pour des résultats plus complets et pour les détails techniques.
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Solutions multibosses et dynamique chaotique
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5. Solutions hétéroclines
La recherche de solutions hétéroclines par la méthode variationnelle se base principalement sur la méthode directe du calcul des variations, c'est-à-dire sur la minimisation de la fonctionnelle d'action. On s'attend donc à ce que les arguments soient plus simples que dans la recherche de solutions homoclines. Cependant, d'autres problèmes surgissent, notamment dans le choix de la classe de fonctions sur laquelle définir la fonctionnelle d'action. En particulier, le choix de la topologie sur cette classe de fonctions est parfois délicat.
Dans ce paragraphe, nous considérons uniquement des systèmes lagrangiens du second ordre, le cas des systèmes hamiltoniens étant techniquement beaucoup plus compliqué et ayant été nettement moins étudié.
5.1 Systèmes autonomes ou périodiques du second ordre
Considérons le lagrangien :
La fonctionnelle d'action :
( 23 )
est bien définie sur la classe de fonctions :
Les éléments de Γ–1,+1 sont des fonctions qui satisfont u (± ∞) = ± 1. Comme
est une fonctionnelle positive, il est naturel de chercher un minimiseur de
dans Γ–1,+1 . Il est par ailleurs immédiat de vérifier qu'un minimiseur est une solution hétérocline, joignant – 1 à + 1, de l'équation d'Euler-Lagrange associée :
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Solutions hétéroclines
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BROSSARD (J.-P.) - Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique. - [A 1 666] Base documentaire « Physique-Chimie » (1995).
-
(2) - CRÉTÉ (D.) - Convertisseurs analogiques/numériques supraconducteurs. - [RE 24] Base documentaire « Électronique » (2004).
-
(3) - DACOROGNA (B.) - Calcul des variations. - [AF 111] Base documentaire « Mathématiques pour l'Ingénieur » (2007).
ANNEXES
Références
BARTSCH (T.), SZULKIN (A.) - Hamiltonian systems : periodic and homoclinic solutions by variational methods. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. II, p. 77-146 (2005).
BOSETTO (E.), SERRA (E.) - A variational approach to chaotic dynamics in periodically forced nonlinear oscillators. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 17, no 6, p. 673-709 (2000).
BONHEURE (D.), SANCHEZ (L.) - Heteroclinic orbits for some classes of second and fourth order differential equations. - Handbook of differential equations : ordinary differential equations, Elsevier B. V., Amsterdam, vol. III, p. 103-202 (2006).
BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. - Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise, Masson, Paris, xiv+234 p. (1983).
CALDIROLI (P.), NOLASCO (M.) - Multiple homoclinic solutions for a class of autonomous singular systems in R2. - Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 15, no 1, p. 113-125 (1998).
CLARKE (F.H.) - A classical variational principle for periodic hamiltonian trajectories. - Proc. Amer. Math. Soc., 76, no 1, p. 186-188 (1979).
COTI ZELATI (V.), EKELAND (I.), SÉRÉ (E.) - A variational approach to homoclinic orbits in hamiltonian systems. - Math. Ann., 288, no 1, p. 133-160 (1990).
COTI ZELATI (V.), RABINOWITZ (P.H.) - Homoclinic orbits for second order hamiltonian systems possessing superquadratic potentials. - J. Amer. Math. Soc., 4, no 4, p. 693-727 (1991).
EKELAND (I.) - Convexity methods in hamiltonian mechanics. - Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), Springer-Verlag, Berlin, 19, x+247 p. (1990).
EKELAND (I.), LASRY (J.-M.) - On the number of periodic trajectories for a hamiltonian flow on a convex energy surface. - Ann. of Math. (2), 112, no 2, p. 283-319 (1980).
EKELAND...
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